Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Морс М.N. Топологические методы теории функций комплексного переменного
 
djvu / html
 

20 ГЛАВА I. ПСЕВДОГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
радиус круга г<г0 в (и, ^-плоскости выбрать настолько малым, чтобы отображение (х, у) -плоскости в (и, ?>) - плоскость было взаимнооднозначным и конформным для г < г0. Второе утверждение теоремы следует из (2.5), так как cos /га 6 при возрастании 6 меняет знак, проходя через значение нуль. Для непостоянной гармонической функции U наименьшее значение /га в теореме равно 1 ; в этом случае линия уровня состоит лишь из одной неособой кривой, проходящей через точку (х0, у,,).
В частности, из доказанной теоремы вытекает, что U не может допускать максимума или минимума в тех точках (хй, у0), в которых она гармонична. Действительно, разность U(x, у) — U(x0, y0) принимает как положительные, так и отрицательные значения в любой окрестности точки (х„, у0).
Определение псевдогармонических функций. Пусть и (х, у) — гармоническая функция, отличная от тождественной постоянной в некоторой окрестности N точки (х0, у0). Пусть далее точки N подвергаются произвольному, сохраняющему ориентацию гомеоморфизму Т, который преобразует окрестность N в некоторую другую окрестность N' точки (х0, у'о) , причем точке (х, у) из N соответствует точка (х'> У') ? W' . Удобно предположить, что точка (х0, у0) соответствует при этом самой себе, так что X'O—XQ, У0=у0. Положим
и(х, у) = 6/(*', у'). (2.7)
Функция U (х', у') называется псевдогармонической,
Распространим это определение на случай, когда и (х, у) имеет в точке (х0, у0) логарифмический полюс. В этом случае
и (х, y)=k In \z - z0| + ш (х, у) (ft ф 0),

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика