Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

90 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [гл. s
поэтому
Следовательно, при г > max (r0,
а)]}=2Т Изм Arg/*(*'«).
Ог=аг=2л z31 0^аг?2я
Теорема доказана.
Обобщенный принцип аргумента позволяет сразу же получить основную теорему п. 1.2 в ее полном объеме (стр. 13). При этом в проведенных в начале п. 1.2 рассуждениях ничего не приходится менять.
В заключение докажем теорему, относящуюся к поведению конформного отображения на части границы области G, представляющей жорданову дугу.
Назовем жорданову дугу Г', принадлежащую границе Г произвольной области G, достижимой дугой границы Г или свободной жордановой дугой, если существует жорда-нова дуга у', имеющая общие концы с Г' и принадлежащая области G (за исключением своих концов), причем внутренность g жордановой кривой, состоящей из у' и Г", содержится в области G. Чтобы уяснить себе это понятие, достаточно сравнить прямолинейные отрезки АВ на рисунках 16 и 17. В первом из них АВ есть достижимая дуга границы области, во втором случае АВ не является достижимой.
Теорема 6. Если Г' — достижимая жорданова дуга границы Г односвязной области G (быть может, неограниченной), то при конформном отображении w = f (z) области G на круг \ w \ < 1 между точками дуги Т' и точками некоторой дуги единичной окружности устанавливается гомеоморфное соответствие при дополнительном условии, что значения w = f (z) рассматриваются только в области g с G, примыкающей к Г".
Доказательство. При конформном отображении области G на круг дуга у', фигурирующая выше, в определении достижимой дуги границы, перейдет в незамкнутую жорданову дугу б' с концами на единичной окружности (это следует из того, что у' определяет две различные достижимые точки границы Г). Область g, ограниченная жордановой кривой у' + Г', преобразуется в область А, ограниченную жордановой кривой, состоящей из б' и из одной из двух дуг окружности с концами, общими с б'. В силу следствия из теоремы 5, функция w — f (z), конформно отображающая область g на область А, устанавливает гомеоморфное

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика