Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

§ 1] ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 9>
Если допустим, что / (г0) Ф- О, то обнаружим* что в любой окрестности точки 20 имеются точки г', образы которых /(г') лежат-ближе к началу координат, чем / (г0). Следовательно, в точке % модуль | / (г) | не может иметь и минимума (если / (г0) ф 0).
Итак, принцип максимума (и минимума) модуля является простым следствием из того, что аналитическая функция преобразует внутренние точки во внутренние.
Ограничимся для получения дальнейших следствий случаем, когда 20 и w0 = / (z0) — конечные точки. Случаи, когда 20 = °о или w0 = оо или, наконец, 20 = w0 — оо, легко сводятся к этому посредством простейшего дробно-линейного преобразования, как это было указано выше.
Допустим, что 20 является ^-кратной да0-точкой (k > 1) функции / (z). Это означает при k = 1, что /' (z0) =5^ 0, а при k> 1, что
/' (20) = 0, . . ., р-1) (20) = О, НО /С» (20) ф 0.
При доказательстве теоремы было установлено, что если число-Ро > 0 взято столь малым, что в круге |z — 20 |<р0 уравнение / (2) — w0 = 0 не имеет других корней, кроме z = z0, т. е. количество корней его внутри уо: | 2 — 20 1 = ро совпадает с k (что будет при всех достаточно малых р0), то для б, равного расстоянию от точки w0 до кривой / (f) и для каждой точки wit принадлежащей окрестности \w — w0 \ •<. б, уравнение / (z) — w\ = 0 имеет столько же корней внутри -уо, сколько их имеет уравнение / (г) — WQ =0, т. е. тоже k корней.
Заменим р0 меньшим положительным числом р так, чтобы образ-окрестности Up : | 2 — z0 \ <. р целиком заключался в окрестности | w — w0 | < б. По доказанному, этот образ является областью. Кроме того, в силу выбора чисел б и р, каждая точка wit принадлежащая образу окрестности Up, имеет одно и то же количество прообразов, а именно, k в круге | г — 20 | < ро- Правда, некоторые из этих прообразов могут совпадать между собой в одной кратной точке ZL в которой необходимо /' (z4) = 0; но если выбрать р0 столь малым, чтобы производная /' (2) не обращалась в нуль в точках круга J2 — z0 | <С ро, отличных от 20, то прообразы каждой точки ffi>i =? w0 все будут различны между собой.
Итак, справедливо следующее предложение: Теорема. Если для аналитической функции f (2) точка г» является k-кратной f (г0)-точкой (&>1), то существует окрестность Up : | г — 20 | < р точки г0, которая отображается этой функцией на соответствующую область f (Up) так, что каждая точка w 6 / (Up) имеет не более k прообразов в Up, причем точки,, достаточно близкие к WQ, имеют k прообразов в f/p (различных, если w^ w0).
Напомним (см. п. 5.1 гл. второй), что функция / (г) называется однолистной в области G, если она является однозначной и

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика