Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

8 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
имеют одинаковое число корней внутри -уо- Но / (z) — ш0 = 0 имеет по крайней мере один корень внутри 70 (z = 20). Следовательно, ' уравнение / (z) — % = 0 также имеет по крайней мере один корень внутри 7о, т. е. существует такая точка 24 в окрестности г0, что / (zi),= Wi. Итак, Wi принадлежит / (G), чем и заканчивается доказательство для случая, когда 20 и WQ = f (z0) •—конечные точки. В случае, когда z0=oo, a w0^oo, мы прибегаем к вспомогательному преобразованию ?=1/2, которое взаимно однозначно и непрерывно отображает окрестность бесконечно удаленной точки на окрестность начала координат, причем функция f(z), аналитическая в окрестности z0 = oo, заменяется функцией / f-p-J =/*(?),
аналитической в окрестности t, = 0 и принимающей здесь те же значения, что и функция / (z) в окрестности бесконечно удаленной точки. Из того, что точка /* (0) = / (оо) = w0 является внутренней для множества значений /*(?), следует тогда, что эта же точка является внутренней и для f(G).
В случае, когда z0=^oo, а ш0 = оо, f(z) имеет полюс в точке z0,
и, следовательно, функция t = , имеет здесь нуль. Применяя к функции -тт-г- и точке z0 доказанное выше утверждение, находим, что t = О — значение -уту в точке zo является внутренней точкой для множества значений . . Но так как вспомогательное преобразование t = . = — взаимно однозначно и непрерывно переводит окрестность точки t= 0 в окрестность точки w = оо, то отсюда следует, что w = со есть внутренняя точка для множества / (G).
Наконец, в случае, когда z0=co, и w0 = oo, достаточно выполнить вспомогательное преобразование ?= 1/z, чтобы свести вопрос к только что разобранному случаю.
Итак, во всех случаях точка WQ = f (z0) является внутренней точкой множества / (G).
Внимательное рассмотрение проведенного доказательства показывает, что из него можно вывести некоторые важные заключения. Прежде всего из доказанной теоремы вновь получаем принцип максимума модуля. А именно, если / (z) ф const и точка z0 ? G не является полюсом функции / (z), то модуль | / (z) | не может иметь максимума в точке 20. В самом деле, образ любой окрестности точки z0 покрывает некоторую окрестность точки w0 = / (г0); следовательно, в любой окрестности точки 20 найдутся точки z, образы которых / (г) будут отстоять от начала координат дальше, чем / (г0), т. е. такие, что | / (г) | > | / (z0) |.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика