Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

Глава пятая
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
ПРИМЕНЕНИЕ К ВОПРОСАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
§ 1. Отображения посредством аналитических функций. Критерии однолистности
1.1. Займемся изучением отображений, осуществляемых посредством аналитических функций.
Теорема о сохранении области при аналитических отображениях. Если f (z) ф const — функция, аналитическая в области G, за исключением, быть может, полюсов, то образ f (G) этой области также является некоторой областью расширенной плоскости.
Заметим, что связность образа / (G) не вызывает никаких сомнений, так как, если L есть непрерывная кривая, соединяющая точки Zi и z2 области G и принадлежащая G, то ее образ / (L) есть также непрерывная кривая (расширенной плоскости), соединяющая / (z4) и / (z2) и принадлежащая / (G). Итак, / (G) есть связное множество (см. п. 4.1 гл. первой). Остается доказать, что каждая точка w0 = f (z0), где z0 6 G, является внутренней точкой множества / (G).
Пусть сначала z0 ^= оо и ш0 =^= оо. Построим принадлежащий области G замкнутый круг | z— ZQ |- Z?YO
Покажем, что окрестность | w —• w0 \ •<. 5 точки ш0 целиком
принадлежит множеству / (G). Отсюда и будет вытекать, что ш0 есть внутренняя точка этого множества.
Пусть Wi — произвольная точка указанной окрестности: 1 wi — w0 | <^ 8. Тогда в точках окружности -уо будем иметь:
\f(z) —w0 >\w0 — wi
и, следовательно, по теореме Руше (см. п. 3.5 гл. четвертой), уравнения
fz — w0 = Q и z

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика