Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

610 ПРИЛОЖЕНИЕ
Остается заметить, что для получения теоремы VII следует заменить здесь ? через — .
7. Условия предыдущей теоремы не являются достаточными. Возьмем пример интерполяционной системы полиномов {Рп(г)}, рассмотренный в п. 5 раздела IV. Заметим прежде всего, что для любой у. л. н. системы интерполяционных полиномов {Рп (г)} ассоциированные функции {шп (?)} выражаются формулами
(« = 0,1,2,...).
"ге+1 (<о)
В самом деле, здесь при | ? | > R
dz
(?-г)Ял+1(г) P»+i(z) ' Поэтому ряд из условия (Ь) имеет здесь следующий вид:
со
V Рп(г)
Но в нашем случае R = 1, с„ == 0 при п Ф к2 и Ch-г = Pft = ^ (& = 0, 1,2, . ..). Поэтому при г \ имеем
nJ 'П
[-.
'
r+i-[/»+l] гт |s_pft| rjr ,(1_pft)
последняя же величина есть общий член сходящегося ряда.
оо
Итак, ряд 2 соп (?) fn (г) в нашем примере равномерно сходится
о
при г|<л<1, Ш>1. Кроме того, сумма его равна =—-, так
1 t — 2
как он является разложением именно этой функции по элементам {fn(z) = Pn(z)}, образующим базис в широком смысле слова (см. п. 6 этого раздела). Таким образом, все условия предшествующей теоремы действительно выполнены, хотя {Рп (г)} не является базисом.
8. Допустим теперь, что {/„ (г)} — полная у. л. н. система функций пространства ER, причем все ассоциированные функции {со„ (?)} являются аналитическими при | ? | >/, где 0

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620


Математика