Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

600 ПРИЛОЖЕНИЕ
Докажем теперь достаточность условий (5) и (6) для у. л. н.
оо
системы (1). Пусть f(z) = ^ajZ1 — произвольный элемент
)
J—ЮО
ER (lim -j/| ctj\ <;#). Определим функционалы {Ln}, полагая
В силу условий (5) Ln (/) являются линейными функционалами на ER (п. 2,1).
Остается заметить, что в силу условий (6)
Отсюда в силу п. 6 раздела I следует, что {fn (г)} — у. л. н. система.
3. Для полноты исследования мы должны еще убедиться, что условия (5) и (6), взятые в отдельности, не будут достаточными для у. л. н. системы {fn(z}}. Заметим сначала, что условие (6) всегда выполняется, если fn(z) — полином степени п (точно!), причем коэффициенты а^~> определяются путем последовательного решения уравнений (1) относительно г1. В самом деле, если
fn (г) = 3 a(»zj (п = О, 1 , 2, . . . ; а^ ^ 0) з=о
k=0
то имеем тождество
п j п з'=п
/, « ^"1 ^1 (з') (з)г / \ __ ^1 г / ч ^1 (j) (j)
п \^) — / ! / i ы-тг OSft /ft \^/ /! /ft ^^/ / 1 С*п ^*ft *
откуда в силу линейной независимости {/n (z)}, вытекающей из нашей гипотезы:
j:=n ОО
/\ U"ft W'/j J/^ ^71 ^/J. ^Tlftl
j=ft о
т. е. получаем условия (6), хотя условия (5) могут быть и не выполнены. Отметим, в частности, вытекающую отсюда теорему:
Теорема VI2. Для того чтобы система полиномов fn(z) =
п
= 2 fln3)z3 (п = 0, 1,2, . . .; аУ Ф 0) была у. л. н. системой в ER,
з=о необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты {а„ }, опреде-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 620


Математика