Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

60 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Лемма 2. Если функция /(г) однолистна во внешности отрезка [ — К, К] (К > 0) и в окрестности г = с» имеет разложение вида:
0 ...
mo Re6t<;0; равенство здесь достигается только в случае, когда
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что Д, = 2 (к этому случаю мы придем, заменяя г через
1 2* и /(2) через-! /(-^2*)=/* (2*)).
Положим z = ? + у- ; тогда функция
будет аналитической и однолистной вне единичного круга. Применяя к ней теорему площадей, получим:
|Н-А|2 + §пЫ2<1. (2.5:5)
2
Отсюда
+М<1, (2.5:6)
Если Re64 = 0, то 6t = P/, | 1 +61 1 = /FTF~ и, в силу (2.5:6), p = 0, т. е. 6, = 0. Поэтому из (2.5:5) следует:
с2 = с3 -= . . . = О, откуда
Теорема Гильберта. Для каждой области G, содержащей точку 2= оо, существует конформное отображение w — ср (г) на каноническую область D, все граничные континуумы которой, не вырождающиеся в точку, являются прямолинейными отрезками, параллельными действительной оси. При этом в окрестности 2 = оо функция ф (г) имеет разложение вида:
Доказательство. Рассмотрим семейство S всех функций f(z), однолистных в области G и имеющих в окрестности UR:

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика