Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

580 ПРИЛОЖЕНИЕ
превращается в базис в узком смысле слова, т. е. просто в базис (см. выше п. 1). Иными словами, последовательность функций {/„ (г)}, удовлетворяющая условиям:
(а) {/„ (г)} — полная система (в ER); (Р) (fn (г)} — у. л. н. система;
(у) — последовательность линейных функционалов {Ln}, биор-тогональная с {/„ (z)} (она существует в силу (Р)), обладает свойством единственности;
(б) для каждой функции / (г) ? Ek ее разложение по функциям {/„ (г)} сходится;
— является базисом ER.
Справедливо и обратное: если система {/„ (г)} есть базис ?л, то все условия (а) — (6) выполнены.
В доказательстве здесь нуждается лишь свойство (|3). Для пространства типа Банаха соответствующее рассуждение можно найти в книге S. Banach'a *) (стр. 111). Это же рассуждение можно перенести и на пространства типа F, если при этом опираться на некоторые свойства этих пространств, отмеченные S. Магиг'ом и W. Orli-сг'ем 9).
Итак, система {/„ (г)} является базисом ER тогда и только тогда, когда выполнены условия (а), (р), (у) и (6) этого пункта. Отметим, что выполнение лишь первых трех условий (а), (|3) и (у) означает, чт° {fn (z)} есть базис в широком смысле слова.
В соответствии с условиями (а) — (б) проблема базиса распадается на следующие проблемы:
(a) проблема полноты для системы функций {/„ (г)};
(b) проблема у. л. н. для системы {/„};
(c) проблема единственности для системы линейных функционалов {Ln};
(d) проблема сходимости для рядов S Ln (/)•/„ (г) (здесь {/„ (г)}
представляет базис в широком смысле слова).
Мы и переходим теперь к исследованию этих четырех проблем, начиная с центральных, тесно связанных между собой проблем (а) и (с)
II
1. Мы начнем с установления понятий, представляющих обобщение классического преобразования Бореля, применяемого в теории аналитических функций.
») S. M a z u r und W. О г 1 i с z, Ober Folgen linearer Operationen», Studia Math., t.. IV, 1933. Всё доказательство проведено в первой главе работы, упомянутой в.сноске 6).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 600 610 620


Математика