Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

570 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
п
на окружности |z| = p, -;р<р<^, и, следовательно, функции {/п/г (г)} равномерно ограничены на этой окружности.
Это означает, что функция f (z) удовлетворяет условиям
\f(z)\ Л
и, следовательно, по принципу максимума модуля удовлетворяет условию
|/(г)|<М, 0 Но это невозможно, так как г = 0 есть существенно особая точка функции f (г).
Если F (z) = оо, то последовательность аналитических функций
Ф„й (г) = -т — . , равномерно сходится к нулю внутри Г0.
' nk a Отсюда, рассуждая по предыдущему, заключаем, что функция
Ф (г) = , _ — ограничена в области вида 0<[z|<;p, откуда
вытекает, что точка г = 0 является правильной для ср (г) и, следовательно, не может быть существенно особой точкой для /(г), вопреки условию теоремы. Итак, теорема доказана.
Из нее следует малая теорема Пикара в следующей усиленной формулировке:
Целая трансцендентная функция f (г) принимает каждое конечное значение А, за исключением, быть может, одного в бесконечном множестве точек.
В самом деле, если два конечных значения а и b принимаются лишь в конечном числе точек, то должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, в которой они вовсе не принимаются, что противоречит доказанной теореме (г=оо является существенно особой точкой для /(г)).
Читатель легко докажет справедливость следующего, более общего утверждения:
Мероморфная в конечной плоскости трансцендентная функция f (z) принимает каждое конечное значение, за исключением, быть может, двух в бесконечном множестве точек.
Анализируя доказательство основной теоремы этого пункта, можно получить более общее предложение. Пусть по-прежнему
/„(г) = f ( -^-\ ; введем в рассмотрение круговые кольца
налегающие друг на друга.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620


Математика