Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

540 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Таким образом, fe-значная функция f(z), полученная посредством всех возможных продолжений одного из элементов, удовлетворяющих алгебраическому уравнению (6.3 : 1), сама удовлетворяет алгебраическому уравнению
Ph (z) wh + PA_i (2) да*-1 + . . . + Р0 (г) = 0. (6.4 : 2)
Заметим, что коэффициенты полученного уравнения не имеют общего делителя выше чем нулевой степени, т. е. не имеют общих нулей. В самом деле, пусть г — а есть какой-либо делитель коэф-
фициента Р k (z) = Q (г); тогда z — а является делителем по край-
ней мере одного из знаменателей Qj (z) дробей J . Пусть QJO (z) делится на z — а в наиболее высокой степени. Соответствующий числитель Pj0 (z) не делится на z — аи, кроме того, дополнительный множитель тгут также не делится на z — а. Отсюда еле-
У .7 \г)
дует, что
oW — у • (z) -">\ '
также не делится на z — а и, следовательно, г — а не может быть общим делителем коэффициентов уравнения (6.4:2). Докажем, что многочлен
Ф(2, W) = P0(Z)+ ...+Ph(z)wk
(степень которого k удовлетворяет условию 1 < k <; п) должен быть делителем нашего исходного многочлена
F (z, w) = р0 (z) + . . . + pn(z) wn.
Так как последний предполагался неприводимым, то мы придем к противоречию, откуда будет следовать, что k не может быть меньше чем п, т. е. в конечном счете, что все элементы, удовлетворяющие неприводимому алгебраическому уравнению составляют один аналитический образ (а все правильные элементы — одну аналитическую в области G n-значную функцию).
Для доказательства заметим, что
F (z, w) = рп (г) [w - fi (z)] . . . (w - fn (z)}
и
Ф(2, W) = Ph (Z) [W-f^Z)] . . . (W-fh (Z)}, '
причем эти соотношения сохраняются при всех возможных продолжениях правильных элементов /1(2), ..., fn(z) в области G. Поэтому
F (г, w) РП (г) , ,. , Ч1 , , , ,,
- = -~

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика