Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

510 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Итак, любая окрестность разветвленного элемента е0 порядка
v — 1 с центром 20 гомеоморфно отображается посредством i^
t= (z — z0)v (где z — центр элемента е из рассматриваемой окрестности элемента е0) на некоторый круг плоскости t с центром в начале координат.
Из всего изложенного заключаем, что аналитический образ с установленным выше понятием окрестности его элементов является Т^-пространством, локально гомеоморфным кругу.
5.7. Этот пункт мы посвятим доказательству того, что каждый аналитический образ обладает счетной базой и, кроме того, является связным пространством. Отсюда в соединении с тем, что было установлено в п. 5.6, будет следовать, что аналитический образ можно рассматривать как некоторую поверхность.
Сделаем предварительно несколько простых замечаний. Пусть
е0 — произвольный элемент: 2 а„ (г — z0)v, a e0 и в — два подчи-
m
ненных ему и, следовательно, правильных элемента. В п. 5. 1 мы видели, что в случае, когда е0 — правильный элемент, е0 и е можно соединить между собой цепью также правильных элементов, подчиненных элементу е0.
Покажем, что последнее свойство остается в силе и тогда, когда е0 — неправильный элемент.
Выполним преобразование t = (z — z0)v; тогде е0 перейдет в неразветвленный круговой элемент е'0 с центром t = О, а центры элементов е0 и е — в точки т0 и т, принадлежащие кругу /С" элемента е'0. Соединим т0 и т непрерывною кривою у', не проходящею через центр круга /С", и пусть е'д ..... е'п — цепь элементов, подчиненных элементу е'0, соединяющая элемент &'д, центром которого служит т0, с элементом ей, центром которого служит т. Возвращаясь к переменному z = z0 + tv, получим в области сходимости элемента еа кривую у — образ кривой у", не проходящую через г0 и связывающую точки ?0 и ? — центры элементов е0 и е. Круги элементов г] перейдут в односвязные области gj (j = О, 1, . . ., /г), из которых каждая последующая имеет общую (связную) часть с предыдущей; при этом пара областей gj и gj+t покрывают дугу о^ а у, соединяющую образ центра элемента г] с образом центра элемента е}+4. Сами элементы е] преобразуются в однозначные аналитические
в
областях gj ветви q^ (z) суммы ряда Зйп(2 — zo)v . причем
m
Фо (z) совпадают" с е0 в окрестности точки Со, Фп С?) совпадает сев окрестности точки ? и, кроме того, ф; (z) и ф^+1 (z) совпадают в общей части областей gj и gj+i. Отметим на у по одной точ-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика