Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

500 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Здесь важно подчеркнуть, что последовательности {nv} и {Од} не зависят от функции /(г). Доказательство этой теоремы сведется к разбиению
оо оо
степенного ряда ^ w>t Ha сумму двух степенных рядов: ^] вдо»'* и О ' о
(1 — 9&) о> *, каждый из которых обладает подпоследовательностью частич-
w
?
ных сумм, равномерно сходящейся в области G, границей которой является полупрямая ш = и> 1.
оо
Вообще степенной ряд ^ ah (w — к'о)'1 с конечным радиусом сходимости R
о называется сверхсходящимся, если существует подпоследовательность
«V
его частичных сумм {^ ak (w—wu)h}, равномерно сходящаяся внутри какой-
0 либо области, содержащей круг | ш — w0\<^R в качестве правильной части.
00
Легко видеть, что сам ряд ^ wh не обладает свойством сверхсходимости.
О
«V
В самом деле, никакая подпоследовательность его частичных сумм V wh =
О
аЛ+1-1 = - : — не может сходиться в точках, лежащих вне единичного круга.
Отсюда следует, что если
и оба ряда в правой части являются сверхсходящимися, то необходимо должны выполняться условия:
lira | в* | = lim |1-в* | =1. (5.5:2)
ft-l-O fe-юо Г
Действительно, lim тХ~| 6^ | k-^-OO fe->00
оо
например, что lim-j/"|9u |< 1, то радиус сходимости ряда ^QkWh будет h-юо О
оо
больше 1. Так как ряд У] (1—6й)шй, то предположению, сверхсходится, то
о существует возрастающая последовательность натуральных чисел {nv} та-
nv
кая, что последовательность {^(l—Qk)®1'} равномерно сходится в неко-
0
оо
торой окрестности точки w0,, |.vu0 | = 1. Но ряд ^QhWk равномерно сходится
О в некоторой окрестности любой точки единичной окружности; поэтому

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика