Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

50 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ, Ь
Г. М. Г'Ълузиным. Она выражается следующими неравенствами:
I Arg f (z) |<
4arcsin|z| при

(2.4: 10)
Эти неравенства составляют содержание теоремы вращения в теории однолистных функций. Они являются точными в том
смысле, что существуют однолистные функции (отличные от - ^ — ], для которых |Arg/'(z)| принимает значения, сколь
угодно близкие к значениям правых частей соотношений (2.4: 10) в наперед заданной точке единичного круга.
Вернемся к полученным выше неравенствам (2.4 : 6) с тем, чтобы вывести из первого из них простое геометрическое свойство конформных отображений. Замечая, что
a In | /' (г) I _ д Arg /' (г) _ р Г d Ln /' (г) -| _р Г Г (г)
г — — - — — -Ke2 — — -Ke2~"
(см. т. I, формулы (1.3:9) и (1.3:10) главы второй), получаем из (2.4:6):
f") Д ГНУ f' f y\ 9f2___Л.г
fe >Т=^г- (2.4:11)
Пусть Г: w = / (reie), 0 <С 9 <; 2я, есть образ окружности у: (z | = е при отображении w = f(z). Так как касательная к у в точкег = ге*г
наклонена к действительной оси под углом Э-г-д-, то касательная к Г в соответствующей точке f(reie) наклонена к действительной оси под углом ф = 6 + -^- + Arg f (re1®) и знак производной -зтг =
д Аг0 f* (f?i ~ 1 -|------^к^----• определяет характер изменения угла наклона
касательной к Г в точке /(геш), описывающей Г в положительном направлении (при возрастающем Э). В частности, соотношение
-~- >0, выполняющееся в некотором интервале 6' < 6 < 9", означает, что соответствующая дуга Г обращена вогнутостью к точке ffli = 0 (т. е. выпукла со стороны внешности Г), а соотношение
), —что эта дуга обращена выпуклостью к точке w = 0
(т. е. вогнута извне). Но сведения о знаке производной --= 1 Ч -- можно извлечь из неравенства (2.4 : 11). А

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика