Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

480 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Пример 3. Рассмотрим многозначную функцию Ln z в области Е: О < | 2 \ <; оо. В каждой односвязной области G а Е эта функция обладает бесконечным счетным множеством однозначных аналитических ветвей.
Рассмотрим всевозможные односвязные области G с= E и в каждой из них всевозможные однозначные аналитические ветви функции Ln z и покажем, что множество К всех элементов {G, /} образует класс. Иными словами, нужно доказать, что любые два элемента из К являются продолжениями друг друга и, далее, что любой элемент, являющийся продолжением некоторого (G, /} ? К, также принадлежит К- Пусть сначала границей области G является луч Qf^Xf^oo, у = 0. Тогда все однозначные ветви функции Ln г в этой области представляются в виде fzh (z) = In | г | + i92ft, где k = 0, ±1, ±2, ... и QZh — значение Arg z, удовлетворяющее соотношению Ink <; Qh < 2л (k + 1). В этом случае, очевидно, {G, /2ц} и {G, /2m} служат продолжениями друг друга при любых (лит (ср. п. 4.1) и, следовательно, принадлежат одному и тому же классу.
Рассмотрим теперь произвольную область D и в ней однозначную ветвь ф (z) функции Ln z. Пусть z0 ? D, причем z0 не принадлежит границе области G (т. е. не является действительным неотрицательным числом). В окрестности точки Z0, не содержащей граничных точек области G, функция ф (z) имеет вид ф (z) = In | z | + i®2ko {так как все значения Arg z в указанной окрестности исчерпываются функциями 62ft = Q2h (z)> & = О, ±1, ±2, . . .); поэтому в'указанной окрестности ф (г) совпадает с fho (z), т. е. {D, ф} есть непосредственное продолжение элемента {G, fZh0} и> следовательно, принадлежит тому же классу, что и любой из элементов {G, /2Л-
Итак, все элементы рассматриваемого множества К принадлежат одному и тому же классу. Остается показать, что они исчерпывают весь этот класс, а для этого достаточно убедиться в том, что непосредственное продолжение любого элемента из К принадлежит К.
Пусть {G, /} ? К и {D, ф} есть непосредственное продолжение элемента {G, /}. Очевидно, {D, ф'} является также непосредственным продолжением элемента (G, /'} (где ф" (z) и f (z) — производные). Но /' (z) = — ; поэтому и ф' (z) = — . Отсюда вытекает, что
область D не может содержать начала координат (ибо ф' (z) должна быть правильной во всех точках области D). Но она не может содержать и точку г = оо, так как ф (z), будучи правильной в этой точке, имела бы лорановское разложение вида ф (z) = с0 +
+ Ci + % + ..., откуда ф'(г) = -^_2^_...?=1.
Итак, D — односвязная область, принадлежащая Е: 0 < | г |< оо.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика