Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

470 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
3.5. Заметим, что поверхность S гомеоморфна области Е = G. Поэтому все сведения относительно функции /-1 (z), которые обнаруживаются при ее изучении на S, можно получить из рассмотрения одной только области G, триангулированной так, как это было указано в п. 3.4, т. е. разбитой на области однолистности функции г = f (w), взаимное расположение которых удовлетворяет условиям, накладываемым на триангуляцию вообще. В § 5 главы II мы, изучая многозначные функции, обратные элементарным целым и мероморфным функциям, также пользовались приемом разделения данной области на области однолистности, не требуя, однако, чтобы эти области давали триангуляцию области. И, действительно, для нужд изучения обратной функции последнее требование излишне. Но после того, как мы установили, что мероморфная функция всегда осуществляет внутреннее отображение, мы можем в каждом конкретном случае, где требуется построить модель соответствующей римановой поверхности, также отказаться от требования триангулирования и замащивать данную область G паркетом любого вида при условии, что / (w) однолистна на каждой плитке этого паркета. Если эти плитки по-прежнему обозначать через AI, Д2, . . ., а их образы / (А^) — через 8j, то модель римановой поверхности S составится из совокупности всех {б7-}, если границы различных 8j склеивать между собой в тех частях, которые служат образами общих частей границ соответствующих Д^-.
Мы поясним изложенное на нескольких конкретных примерах. ,
1) G — расширенная плоскость HZ — wm (т — натуральное число > 1). Разобьем G лучами, выходящими из начала координат, на 2т равных углов: Аь А2, . . ., А2т. В каждой из замкнутых областей А^(/ = 1, 2, . . ., 2т) функция wm будет однолистной. Пусть для определенности один из этих лучей совпадает с положительной частью действительной оси и А4 есть угол 0-< arg z<— .
Тогда образами 8j замкнутых областей Д^- будут служить верхние и нижние полуплоскости w, причем 6^- с нечетными номерами будут обозначать верхние полуплоскости, а с четными номерами — нижние. Для получения нужной модели римановой поверхности остается склеить между собой границы этих полуплоскостей по той же схеме, по которой соединены друг с другом границы областей А^. Если положительную часть действительной оси, входящую в границу полуплоскости &j, обозначить через /+, а отрицательную часть — через /_, то 1_ следует склеить с 2_, 2+ с 3+, • • • . . ., (2т — 1)_ с 2т- и, наконец, 2т+ с 1 + . Схема этих склеиваний указана на рисунке 66, где принято т = 4. В результате получаем над сферой m-листную поверхность с двумя точками разветвления порядка m — 1, расположенными над z = 0 и z = оо.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика