Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

460 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
__ 1_
Если же/(е0)=оо,то t=[f(e)] m, и для f(e) получаем: f(e)=t~m. Будем говорить вообще относительно функции F (ё), определенной в окрестности некоторой точки е0 римановой поверхности и допускающей разложение вида
F (е) = а_тГ1П + a-m+1f-'n+1 + . . . + а„ + atf + . . . (a_m =^0, т > 1 ),
что эта функция имеет полюс в точке е0 (t = teo — локальный параметр). Мы можем сказать тогда, что внутреннее отображение, фигурирующее в определении римановой поверхности Е в собственном смысле, является функцией, однозначной и аналитической на этой поверхности всюду, за исключением полюсов. Множество последних, как легко видеть, не имеет предельных точек на Е.
3.2. Соединим с каждой римановой поверхностью в собственном смысле слова наглядный геометрический образ, который мы будем рассматривать как модель этой поверхности.
Разобьем поверхность Е посредством триангуляции на треугольники {Ап}, в каждом из которых отображение z = / (е) является гомеоморфным. Образ / (А„) = дп при отображении z = / (е) есть треугольник на поверхности сферы.
Будем отождествлять («склеивать») между собой точки, принадлежащие треугольникам 8j и 8h(j=^=k), тогда и только тогда, когда они являются образами одних и тех же точек на поверхности Е. В силу условий, которым удовлетворяет каждая триангуляция, склеиваться могут только граничные точки треугольников.
Треугольники, имеющие общую вершину г0, будут образовывать конечные циклы треугольников, из которых каждый последующий склеен с предыдущим вдоль общей стороны, исходящей из общей вершины. Если при этом точка z0 является образом такой точки е0 ? Е, в окрестности которой отображение z = / (е) гомеоморфно (т = 1), то указанный цикл однократно, в один слой, покрывает некоторую окрестность точки г0 на сфере. Если же отображение z = / (е) не является гомеоморфным ни в одной окрестности точки е0, то, как мы знаем, существует натуральное т такое, что треугольники цикла покрывают некоторую окрестность точки г0 m-кратно, в т слоев. Всю совокупность треугольников {бп}, склеенных между собой указанным образом (их может быть самое большее счетное множество), можно представлять себе как своего рода одеяло, сшитое из треугольных лоскутков и слоями окутывающее всю сферу или только некоторую область на ней. Вот это-то «одеяло» или «многолистная поверхность» и служит моделью римановой поверхности в собственном смысле. Обычно эту модель S не отличают от той поверхности, которую она изображает, и также называют римановой поверхностью в собственном смысле слова. Оперируя с S, следует помнить, что указание z, принадлежащего множеству

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика