Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

350 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
сливаются в одну — тройной полюс функции §>' (2). Пусть Л = 0, тогда мы должны получить три нуля функции §>' (г). Из соотношения
Г (-^) = -Г (г)
следует, что
Г (2(0,--2)= -Г W (/=1,2,3),
t
откуда при z — (uj получаем:
Г (со,) = - Г (со,-) и так как §>' (со,-) ^ оо, то
Г(со,) = 0 (/=1,2,3).
Мы получили три нуля (Оц со2, о>3, принадлежащие основному параллелограмму периодов с вершинами 0, 2щ, 2а>2 и 2со3. Один из них со2 лежит в центре параллелограмма, а два других со4 и со2 — в серединах сторон. Очевидно, каждый из этих нулей является простым. В противном случае общее число нулей ^' (г) в параллелограмме периодов было бы большим трех, что невозможно. Заметим, что сумма найденных нулей о^ + «>2 + о>3 = 2®± + 2и3 отличается на величину периода от суммы полюсов 0 + 0 + 0 = 0, как это и должно быть по теореме 4 (п. 6.1).
Порядок функции $>(z) равен двум. Следовательно, для любого Л существует две Л-точки этой функции в параллелограмме периодов. Если Л = оо, то обе точки сливаются в одну — двойной полюс (т. е. начало координат, если речь идет об основном параллелограмме периодов). Если Л имеет одно из значений <§> (со^) = в), то соответствующие Л-точки также сливаются попарно в точки (о/(/=1, 2, 3), так как в каждой из них <§>' (со*) обращается в нуль, a f' (u>j) =/= 0, т. е. точки ш,- являются двукратными для ?u(z). Для всех остальных значений Л(Л^=оо, А=^е}, /=1, 2, 3) мы должны иметь пары различных между собой Л-точек. Допуская противное, мы получили бы, что §>' (2) имеет нули в параллелограмме периодов помимо трех точек (%, со2 и со3, что невозможно.
Укажем, как именно расположены в параллелограмме периодов точки каждой пары. На основании четности, функции ?р (2) имеем:
S>(-z) = f»,
откуда следует, что
f (2со,— 2) = f (2) (/ = 1, 2, 3), (6.3 : 7)
т. е. <§> (z) принимает одинаковые значения в точках 2 и 2со,- — г, расположенных симметрично относительно со,. Пусть А Ф- оо

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика