Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

330 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
в области G, совпадают со значениями, принимаемыми функцией F (?) в любой из полос периодов g, к которой нужно еще присоединить одну из ограничивающих ее прямых /. В частности, множество полюсов функции F* (t) будет совпадать со множеством образов полюсов функции F(t,), принадлежащих только одной из полос периодов g (с присоединенными к ней точками прямой /). Поэтому F* (t) будет иметь во всей .области G конечное или бесконечное множество полюсов, смотря по тому, будет ли конечным или бесконечным множество полюсов F (?) в полосе g(Jl.
Допустим, что F (?) имеет конечное число полюсов в каждой полосе g\Jl. Тогда F* (t) имеет конечное число полюсов в области G и, следовательно, точки 0 и оо не будут предельными точками полюсов для F* (t). Поэтому они могут быть только правильными или изолированными особыми точками функции F* (t). Из соотношения t = ei^ следует, что \t\~e~r\, т. е. t стремится к 0, когда т) стремится к оо (верхний конец полосы периодов), и t стремится к оо, когда г\ стремится к — оо (нижний конец полосы периодов). Следовательно, для того чтобы установить характер точки 0 (или оо) для функции F*(t), достаточно рассмотреть, как ведет себя функция F (?), когда точка ?, оставаясь в одной из полос периодов, стремится к ее верхнему (соответственно нижнему) концу.
Возможны следующие случаи:
а) F (?) остается ограниченной по модулю, когда ? стремится к верхнему (нижнему) концу полосы. Тогда и F* (t) остается ограниченной по модулю, когда t стремится к 0 (соответственно к оо), и, следовательно, точка / = 0 (или оо) является правильной
оо
для F* (t), так что F* (t) разлагается в ряд F* (t) = 2 a^k в окрест-
о
оо
ности 1 1 < г точки 0 (соответственно, F* (t) — 2 M~ft в окрестно-
0
00
сти |tf|>7? точки оо). Поэтому F(Q разлагается в ряд
оо
в полуплоскости т) > In — ( соответственно в ряд 2 Р-ье~ад в полу-
0
плоскости ц < In -H- J .
б) F (?) стремится к оо, когда ? стремится к верхнему (нижнему) концу полосы. Тогда и F* (t) стремится к оо, когда / — >0 (t— »оо), и, следовательно, точка / = 0 (/=оо) является полюсом
оо
для F* (t), так что F* (t) разлагается в ряд F* (t) = 2 a**h B окрест-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика