Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

.320 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
для всех | г | достаточно больших. Отсюда вытекает, что целая функция , порядок которой, как мы знаем, равен 1, обла-
дает максимальным типом (<т=оо), т. е. для нее не существует таких положительных постоянных С и К, чтобы неравенство
выполнялось для всех г.
Выведем оценку для модуля , годную для всех г с достаточно
•большим модулем. Фиксируя число б > 0, найдем по формуле (4.3:3'), что в любой точке г = рега, лежащей вне полуполосы g&: 1 1
где
Фр (а)= — р (In р— 1) cosa + Ра sin a.
Оценим max Ф0 (а); при этом будем считать р достаточно большим (во вся-[-я,+я]
ком случае р ^> ея). Замечая, что фр (а) — четная функция, рассмотрим ее поведение на сегменте [0, я]. Имеем: ф' (а) = р (In p sin a + a cos а) и <рр (я) =
= — фр(0) = р(1пр — 1); так как ф' (я)< 0, то max Фр(а) = max ФР (а)
" 1-я, я] [0, я]
достигается в некоторой точке «р ? (0, я). Легко видеть, что ар является единственным в интервале (0, л) корнем уравнения
«р In psinap-fap cosap = 0, или tgap= — : - •
Положим ар = я — Рр, тогда
Inp
л зтдр
откуда 0 < Рр < j— , т. е. рр = -^— , где 0 < Ор < 1. Из уравнения для Рр
вытекает, что lim In р tg PP='JI; поэтому Пт1пр-Рр = я, т. е. lim др=1.
р->-оо р ^оо p-voo
Следовательно, для любого Е>0 20Р>2 —е, если р достаточно велико. Заметим еще, что
cos р„ =
Поэтому
max Фр(а) = фр(зт —рр) = Г-я, я]
1 а Г1 1 "2 Л РР \ 1
= plnpcospD 1—-:-------\-Т.-----„ 1--------
v v Mp L Inp (Inp)2 V it / J

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика