Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

310 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Эта формула была получена впервые Эйлером и поэтому должна называться его именем (в учебниках она обычно фигурирует под именем Гаусса).
4.2. В этом пункте мы дадим важнейшие интегральные представления для гамма-функции. Прежде всего докажем, что при Re z > 0 имеет место формула
00 1
tt1-1dt, (4.2:1)
где интегрирование производится вдоль положительной части действительной оси. Эта формула также принадлежит Эйлеру (эйлеров интеграл второго рода). Рассмотрим интеграл
ertt:-1dt, (4.2:2)
о
где tz~l обозначает ехр [(г — 1)1п/]. Вследствие того, что
интеграл этот абсолютно сходится для каждого г, принадлежа-
со
щего области D: x = Rez>0 При этом функция хе"'^"1^
о
равномерно ограничена внутри области D, т. е. на каждом ограниченном и замкнутом множестве точек этой области. Отсюда и из того, что e~'t~~~l является целой функцией от z при каждом t, 0<^<оо, заключаем по п. 1.2 гл. четвертой (т. I), что F (г) есть аналитическая функция в полуплоскости D. Прежде чем доказывать равенство (4.2:1), докажем вспомогательное соотношение
f
V
l --t^dt. (4.2:3)
п
Производя замену переменной интеграции t = ni в интеграле
п
MZ) = J ( 1 — -?) " t"'1 dt, получим:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика