Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

240 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
на сегменте [0, 2я]), соответствующих точкам Reia^E^ очевидно, что mes % >0 (./?гпе5'ё = гпез.Ен). Так как по условию теоремы:
lim /(peiaj=0,
то, по теореме Д. Ф. Егорова (см. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, гл. четвертая, § 3, изд. 2-е, 1957), существует замкнутое множество $'С$, имеющее также положительную меру, на котором семейство функций от а: {/ (pei R.
На таком множестве ^'.семейство J 1п+ - I будет равномерно стре-
I | / (ре'«) | J .миться к со. Поэтому
.n-i

о
также стремится к со при р —у- R. Но мы видели в п. 5.1, что из условия

lim -g^ р-»л о
характеризующего функции ограниченного вида, следует, что

---- 1
lim -n— р-»в
Из полученного противоречия вытекает справедливость доказываемой теоремы •единственности.
Теорема эта впервые была доказана братьями М. и Ф. Рисе в 1916 г. (опубликована в 1918 г.). Независимо от них наиболее общие граничные теоремы единственности были получены Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым <опубликованы в 1919 г.). Заметим, что если на /(г) не налагать никаких •ограничений, то из обращения ее радиальных граничных значений на множестве точек окружности, имеющем положительную меру, не следует еще, что •сама функция тождественно равна нулю.
6.4. Основные теоремы этого параграфа непосредственно распространяются на более общий класс функций, за которым сохраняется название класса функ-дий ограниченного вида (Р. Неванлинна). А именно, назовем функцию /(г), аналитическую в круге | z \ < R, за исключением быть может полюсов, функцией ограниченного вида, если ее можно представить в виде частного двух ограниченных по модулю аналитических функций:
Пусть {6д} — последовательность всех полюсов /(г) в круге /Сд: | г | <| R, причем каждый полюс повторяется в этой последовательности столько раз, какова ?го кратность. Так как последовательность {feft} должна содержаться в последовательности нулей функции А (г) —функции ограниченной по модулю,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика