Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

230 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
если же оба числа |cp(z)| и |/(г)| превосходят единицу, то
заключаем, что
2л IP
•к—• \ 1п+ [ / (ре*а) ф (peia) | da ^
^Jt gj
о
2л 2л
IP
О О
и, следовательно, f(z)-y(z) принадлежит N, если f (z) и ф(г) принадлежат Af. Весьма важный подкласс функций ограниченного вида образуют функции, ограниченные по модулю. Очевидно, что

если | / (г) | < С, то ~ *\ 1п+ / (peia) I da < ln+ С, т. е. / (г) ? N. Функ-
ЛЛ jj
О
ции, ограниченные по модулю, составляют подкольцо класса N.
Из того, что разность двух функций класса N принадлежит тому же классу, следует, что если две функции f (z) и ф(г) класса N принимают одинаковые значения в точках последовательности {?„}, для которой ряд J^(R— |?А|) расходится (если t,k — р-кратный нуль f (z) — ф(г), то соответствующее слагаемое повторяется р раз), то /(г) = ф(г).
Действительно, рассуждая от противного и допуская, что / (z) — ф (z) ф. О, получим функцию класса N, для которой сумма расстояний ее нулей до окружности | z —R образует расходящийся ряд, что невозможно. Итак, / (г) — ф (z) = 0.
Заметим, что ряд S(# —|?А|) необходимо расходится в случае, когда последовательность {?д} имеет по крайней мере одну предельную точку ?0 внутри круга |г| Мы видим, что для функций класса Af получается теорема единственности, справедливая при более общих предположениях относительно того множества, на котором указано равенство значений f (z) и ф(г), чем внутренняя теорема единственности.
5.2. Докажем, что класс N совпадает с совокупностью всех аналитических в круге | ? | <; /? функций, допускающих представление в виде частного двух аналитических ограниченных по

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика