Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

200 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
ИЛИ
А (2) < и (г) -в
Устремляя здесь е к нулю, получаем:
A(z) т. е. и (г) является мажорантой для h(z) в области G, что и требовалось доказать.
Остается добавить, что из доказанного следует соотношение
Hm[A(z) — ы(г)]<0
z-*S
для любой граничной точки ? области G (включая и те точки ^, которые были исключены в условии теоремы). Поэтому, если в некоторой внутренней точке z0 6 G выполняется равенство
A(ZO) — u(z0) = 0,
то, по лемме 2, вытекает, что субгармоническая функция h (z) — — u(z) тождественно равна нулю в области G, т. е. A(z) = u(z). Теорема 2 полностью доказана.
3.2. Рассмотрим некоторые приложения теоремы 2 п. 3.1. Пусть f(z) — функция, аналитическая в круговом кольце D:r^< z\<.r2, вообще говоря, неоднозначная, но модуль которой является однозначным в D и удовлетворяет условиям
Tim ln|f(z)| z^E z-vg
1Е1=п. ISI=''2
Так как ln|/(z)| есть субгармоническая функция в области D, то гармоническая в той же области функция, значения которой совпадают с In MI на Yi:|?l = ri и 1пУИ2 на у2'-\^\ = г2, должна быть мажорантой для ln|/(z)| в круговом кольце D. Такую функцию легко построить, отправляясь от гармонической функции In z , обращающейся в 1пр на окружности |z|=p. Очевидно, функция
— гармоническая и обращается в \пМ^ на окружности и в нуль на окружности | z \ = г2. Точно так же функция
1пМ,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика