Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

170 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
жорданова гладкая кривая, для которой угол а наклона касательной, рассматриваемый как функция длины дуги ст, удовлетворяет условию вида |а(сг") — а(ст')|<С[ст" — ст' |х, Я>0), функция /zo (г) будет обладать непрерывной производной f'za (г) в замкнутой области G.
В этом случае, отправляясь от функции и (г), непрерывной в G и гармонической в G, мы, переходя к кругу | w \ •< 1 , получили бы также непрерывную в замкнутом круге и гармоническую внутри него функцию и* (w), для которой, следовательно,

' Повторяя те же выкладки, что и выше, найдем, что при сделанном предположении относительно Г формула (1.6:2') справедлива также и в том случае, когда г=1, т. е. когда \>г сов" падает с Г:
Если на Г a priori задана непрерывная функция и (?), то эта же формула будет решать соответствующую задачу Дирихле.
Не развивая далее этих замечаний по поводу формулы (1.6:2"), мы докажем здесь еще, что задача Дирихле разрешима для любой •области G, ограниченной замкнутой жордановой кривой Г.
Пусть ф (?) —функция, непрерывная на Г. Отобразим конформно область G посредством функции w — f (г) на единичный круг. В рассматриваемом случае функция эта устанавливает гомеоморф-ное соответствие между Г и единичной окружностью и, следовательно, преобразует ф(?) в однозначную и непрерывную функцию Ф*(т) (|т| = 1).
Решим в единичном круге задачу Дирихле для функции ф*(т); найдем гармоническую функцию

* (pia\ _ 1—Г2 __ _ ,
е а
Возвращаясь к области G посредством обратного преобразования г = f'1 (w), получим функцию и (г) = и* [/ (г)], непрерывную на G, принимающую на Г значения ф(?) и гармоническую в области G. Это и есть решение поставленной задачи.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика