Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

160 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ( [ГЛ. 6
Другое доказательство этой теоремы немедленно получится, если заметить, что аналитическая функция w = cp (z) отображает окрестность | г — г0 | < р на некоторую область g, содержащую точку WQ = ф (г0). Область g содержит точки, абсциссы которых и меньше, чем и0 = Re [cp (г0)] = и (х0, у0), а также точки, абсциссы которых больше, чем и (XQ, у0). Поэтому и (х, у) принимает в данной окрестности как значения меньшие, так и большие, чем и (х0, у0), откуда и следует теорема.
Из доказанного предложения вытекает, что действительная функция и (х, у), непрерывная в некоторой замкнутой области G и гармоническая в области G, достигает своего наибольшего и наименьшего значений в граничных точках области. Поэтому, если такая функция сохраняет постоянное значение на границе области G, то ее наибольшее и наименьшее значения во всей замкнутой области G совпадают, и, следовательно, она является постоянной в области G. Мы можем, в частности, высказать следующее предложение:
Теорема. Если две функции Ui (х, у) и и2 (х, у) являются непрерывными в замкнутой области G, гармоническими в области G, и если их значения совпадают во всех граничных точках области G, то эти функции совпадают во всех точках области G.
В самом деле, разность этих функций является функцией, непрерывной в G, гармонической в G и обращающейся в нуль во всех граничных точках. Следовательно, эта разность равна нулю во всей области G.
Последняя теорема обеспечивает единственность решения следующей важной проблемы, возникающей во многих теоретических вопросах механики и физики:
Проблема -Дирихле. На границе области G определена однозначная и непрерывная действительная функция ф (?). Найти функцию и (х, у), непрерывную в замкнутой области G и гармоническую в области G, совпадающую с ф (?) во всех граничных точках.
Укажем одну из многих физических интерпретаций этой проблемы, полагая для определенности, что область G ограничена замкнутой жордановой кривой Г.
Рассмотрим мембрану, т. е. тело, имеющее вид пластинки, толщина которой весьма мала по сравнению с прочими размерами, и обладающее ничтожно малой сопротивляемостью изгибу по сравнению с силами натяжения S (последние приложены к контуру мембраны, нормальны к контуру и вместе с тем направлены по касательным к поверхности мембраны). Натяжение будет осуществляться благодаря тому, что края мембраны заделаны в жесткий контур.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика