Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

100 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
В качестве приложения полученной теоремы выведем интегральную теорему Коши в следующем обобщенном виде:
Обобщенная интегральная теорема. Пусть G — внутренность замкнутой жордановой спрямляемой кривой Г и F (z) — функция, непрерывная в G и аналитическая в G. Тогда
s
г
F (z) dz = 0.
Доказательство. Пусть е — произвольное положительное число и L — длина кривой Г. По предыдущей теореме, существует многочлен Р (г) такой, что
Поэтому
г г
откуда, вследствие произвольной малости г,
что и требовалось доказать.
Следствие. При тех же условиях справедлива интегральная формула
Доказательство такое же, как и в п. 3.1, гл. третьей (т. I).
Основная теорема этого пункта является лишь частным случаем следующей общей теоремы:
Теорема М. В. Келдыша. Для того, чтобы каждую функцию, непрерывную в замкнутой области G и аналитическую внутри G, можно было приблизить на G многочленами с произвольно высокой точностью, необходимо и достаточно, чтобы
дополнение к G состояло из одной области Gx, содержащей точку оо *).
Этой формулировке удовлетворяют, конечно, все области, ограниченные жордановыми кривыми, но не только они одни.
*) М. В. К е л д ы ш, Определение функций комплексного переменного рядами полиномов в замкнутых областях. Математический сборник, т. 16(58), стр. 249—258 (1945).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика