Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т.2
 
djvu / html
 

Ю КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
аналитической в 'этой области, за исключением, быть может, полюсов, и если в различных точках области G она принимает различные значения:
если Zi^=Zz, zj, z2?G.
Из этого определения непосредственно вытекает, что однолистная функция не может иметь более одного полюса.
Из последней теоремы следует, что если f (z0) Ф О, то k = 1 и / (г) является однолистной функцией в некоторой окрестности точки г0. Если же k> 1, то функция не будет однолистной или, как говорят, будет многолистной, а именно k-л и с т н о и в каждой достаточно малой окрестности точки z0.
Отметим следующее предложение, вытекающее из той же теоремы: Если аналитическая функция f (г) является однолистной в области G, то все точки области G являются для нее простыми. В частности, должны быть простыми ее нуль и полюс (если они существуют в области G) и производная f (г) не должна обращаться в нуль в конечных точках области G.
Обратное предложение несправедливо. В качестве примера приведем показательную функцию ez, производная которой не обращается в нуль ни в одной точке плоскости и которая, однако, не является однолистной в плоскости, так как ez+2ai = ez.
Покажем, что каждая аналитическая функция, однолистная в конечной плоскости, должна быть дробно-линейной (в частности — -целой линейной).
В самом деле, пусть / (г) — такая функция. В силу однолистности она не имеет в конечной плоскости другой особой точки, кроме, быть может, единственного полюса (простого).
Бесконечно удаленная точка может быть для нее правильной точкой, полюсом или существенно особой точкой. Покажем, что последнее невозможно. В самом деле, эта функция отображает единичный круг | г | < 1 на некоторую область g плоскости w. Если WQ ? g и UQ — некоторая окрестность точки w0, принадлежащая g, то, в силу однолистности, / (г) не может принимать вне единичного круга ни одного значения, попадающего в U0. Поэтому не может существовать последовательности {zn}, сходящейся к оо, такой, что lim / (гп) = w0. Отсюда по теореме Сохоцкого — Вейер-штрасса (п. 3.1 гл. четвертой) и следует, что оо не есть существенно особая точка функции / (г).
Итак, точка оо является правильной точкой или полюсом для / (г). Но если она есть полюс, то этот полюс должен быть простым. В противном случае в некоторой окрестности точки оо функция / (г) принимала бы каждое значение по нескольку раз, что несовместимо с ее однолистностью. Убедимся в том, что если / (г) имеет конечный полюс гь то она не может иметь полюс в бесконечно уда-

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика