Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Пространства аффинной, проективной и конформной связности
 
djvu / html
 

Глава V
ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
54. Рассмотрим в аффинном пространстве J) геометрический объект или, скорее, — совокупность геометрических объектов, преобразующихся между собой при аффинном преобразовании. Если выбрать аффинную систему координат, этот геометрический объект аналитически задается при помощи некоторого числа (мы предположим конечного) величин у\, у2,..., ур, которые мы будем называть его координатами. При изменении системы координат эти величины преобразуются, причем совокупность преобразований, соответствующих различным преобразованиям координат, очевидно, образует группу. Мы будем говорить, что совокупность величин y^ образует тензор с р составляющими. Мы будем употреблять термин .тензор" специально в том случае, когда группа преобразований величин yi— линейная. Координаты точки, составляющие вектора, коэффициенты уравнения поверхности 2-го порядка и т. д. определяют тензоры.
Рассмотрим теперь пространство аффинной связности п измерений. Мы будем называть тензором, связанным с точкой m этого многообразия, совокупность величин, которые подвергаются линейному преобразованию при изменении системы отнесения (с началом т), связанной с касательным аффинным пространством в т. Существуют два примечательных тензора, связанных с точкой m многообразия, — тензор кручения , у которого составляющими являются коэффициенты А1Л$, и тензор кривизны, составляющие которого суть коэффициенты А;ар.
Когда мы производим преобразование системы отнесения с началом в точке т, очевидно, что Л«р и Aj*$ преобразуются линейной подстановкой. Коэффициенты А1Я$ позволяют, как мы видели, определить трансляцию, соответ-
1) Излагаемая ниже теория применяется mutatis mutandis к пространству с любой фундаментальной группой.
70

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика