Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Пространства аффинной, проективной и конформной связности
 
djvu / html
 

аффинном пространстве, касательном в точке т, эта группа может быть выражена в определенной аналитической форме; она определяется, в частности, определенной совокупностью бесконечно-малых преобразований.
46. Рассмотрим теперь две различных точки m и тг пространства. Этим точкам соответствуют две группы голономии g и g'. Докажем следующую теорему:
Теорема однородности. — Группы голономии, соответствующие различным, точкам пространства, являются гомологичными подгруппами аффинной группы G.
Напомним, что две подгруппы g и g' группы О называются гомологичными, если уравнения, определяющие одну из них, могут быть приведены к уравнениям другой подгруппы при помощи замены переменных, определяемой преобразованием группы О, то есть если существует такое преобразование Т группы G, что подгруппа g' совпадает с подгруппой T~1gT.
Для доказательства теоремы однородности обозначим через 5' некоторое преобразование труппы g', соответствующее контуру С', выходящему из точки т' и возвращающемуся в нее. Рассмотрим замкнутый контур С, состоящий из пути у, соединяющего m с т', контура С' и пути у, проходимого в обратном направлении. Пусть Т—аффинное перемещение, которое преобразует аффинное пространство, касательное в т, когда мы переходим па пути у из точки m в точку т'. Контуру С соответствует перемещение, являющееся произведением перемещений Т, S' и Г"1. Другими словами, каждое перемещение вида TS'T~* принадлежит к g, если S' принадлежит к g'. Очевидно и обратное. Таким образом, имеем
(1) g= Tg'T-i.
Что и требовалось доказать.
47. Эту теорему мы применим к решению следующего важного вопроса. Может ли группа -голономии g, соответствующая произвольной точке m пространства, оставлять эту точку неподвижной?
\ Прежде всего очевидно, что, если это имеет место;, бесконечно-малое перемещение, соответствующее бесконечно-малому контуру, должно оставлять точку m в покое. Таким образом,
9<=0;
другими словами, пространство имеет нулевое кручение.
Но этого еще не достаточно. В самом деле, рассмотрим бесконечно близкие точки m и т' и отнесем аффинное пространство Е', касательное в т', к аффинному пространству Е, касательному в т. На основании формулы (1).
60

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика