Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Пространства аффинной, проективной и конформной связности
 
djvu / html
 

Соотношения (21), относящиеся к нормальной проективной связности, преобразуются по принципу двойственности в следующие:
П2=-0, П? = 0, П1 = 0, П!-П2 = 0, По — П1 = 0; они сохраняют свой вид. Что касается условия того, чтобы коэффициент г при [ш1»2] в форме &\ был равен нулкк то оно переходит в условие,— чтобы коэффициент при [а>'а>2] в П? был равен нулю. Другими словами, многообразие, двойственное многообразию элементов нормальной проективной связности, является также многообразием элементов нормальной, проективной связности,
Соотношение, существующее между семействами геодезических линий двух взаимно дуальных нормальных многообразий, заключается в следующем. Если
Р(х,у,а, 6) = 0 •
— общее уравнение геодезических первого многообразия, когда мы рассматриваем х и у как координаты точек, а и b как произвольные постоянные, то это уравнение является также уравнением геодезических второго многообразия, если в нем рассматривать а к b как координаты точек, х и v — как произвольные постоянные. Соотношение между двойственными нормальными многообразиями выражается, следовательно, аналитически определенным соотношением между двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка (или скорее — между двумя классами дифференциальных уравнений, получаемых при преобразовании каждого из них произвольным точечным преобразованием). Это соответствие было уже изучено A. Koppisch'eM1 с точки зрения чисто аналитической.
24. Интересным частным случаем является тот, когда коэффициент а формы 22 равен тождественно нулю. Тождества (7) дают в этом случае
другими словами, единственные ненулевые составляющие QI, 2° кривизны многообразия имеют вид:
в них не входит а>2; они пропорциональны [dxdy\. Этот результат можно интерпретировать геометрически, говоря, что соответствие двух проективных плоскостей, отнесенных двум данным элементам е и е' многообразия, зависит
1 А. Юо р р i s с b. Zur Invariantentheorie der gewohnlichen Differenti-algleichungen zweiter Ordnung. Inaugural Dissertation Leipzig. Teubner. 1905). См. также Inaugural Dissertation A. Kaiser'a (Leipzig, Teubner, 1913).
150

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210


Математика