Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Пространства аффинной, проективной и конформной связности
 
djvu / html
 

рассмотрим сначала случай п > 2, то, как мы знаем (п. 9), для этого достаточно, чтобы составляющие п' — По и П? были равны нулю. Тогда Ьц равны нулю для 1ф j; затем
но из соотношения Q/-)-S/ = 0 следует, что п коэффициентов bit равны между собой, так что
На основании одной классической теоремы, которую можно было бы легко доказать, с является постоянной, так что рассматриваемое риманово пространство — постоянной кривизны.
Этот вывод справедлив и в случае п = 2, но, чтобы прийти к нему, необходимо учесть выражения для П? и П°2
П? = (о?)' - [о>? U°2 = (0>?)' — [«4 О)?] = С {(О)")' - [ш'о)!]} + 1^0)2] = [rfC0)2].
Эти выражения равны нулю только в том случае, если ас = Ъ.
Таким образом, мы получаем классическую теорему, согласно которой единственными римановыми пространствами, допускающими геодезическое отображение на пространство Евклида, являются пространства постоянной кривизны,
16. Предыдущее исследование приводит нас естественно к проективному определению пространств постоянной кривизны, данному Кели. Наиболее простой аналитический способ в построении этого понятия заключается в том, что мы берем в проективном пространстве невыродившуюся квадрику (абсолют); пусть
— его уравнение. Если мы условимся относить каждой точке пространства координаты, удовлетворяющие соотношению Ф = ?, где k — заданная постоянная, то искомая форма dsz определяется следующим образом
ds* = <$(dX, dX\..., dX").
Рассмотрим в риманово?л пространстве постоянной кривизны нормальную проективную связность, которая
140

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210


Математика