Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Зоммерфельд А.N. Дифференциальные уравнения в частных производных физики
 
djvu / html
 

60 Гл. II. Общие сведения об уравнениях, в частных производных
и с помощью преобразования
? = ?(*, у) = У(х, у), -п = * (2.23)
— нормальную форму параболического типа
ди ,. \ /о оо \
(2'23a)
Прежде чем приступить к доказательству, сравним уравнения (2.21а), (2.22а), (2.23а) соответственно с уравнениями (2.3), (2.6а) и (2.16), т. е. с двухмерным уравнением потенциала, уравнением колеблющейся струны и линейным уравнением теплопроводности. Как видно, левые части (2.21а) и (2.3) совпадают по форме и лишь отличаются обозначением независимых переменных. Такое же соответствие имеется между уравнениями (2.23а) и (2.16). Для (2.22а) достаточно применить простое преобразование
, 1 = (6*-V). (2-24)
обращением которого является преобразование
ч'=Е-Ч- (2-24а)
В результате получаем
т. в. и в этом случае имеем существенное сходство левых частей (2.22а) и (2.6а). Таким образом, двухмерное уравнение потенциала, уравнение колеблющейся струны и линейное уравнение теплопроводности являются простейшими примерами уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов.
Рассмотрим в первую очередь гиперболический случай и покажем, что уравнение (2.22а) получается из исходного уравнения (2.18) с помощью преобразования (2.22). Если использовать индексные обозначения производных, примененные уже для т-, s, t, то согласно уравнениям (2.22) получим для первых производных соотношения:
ди ди , ди . ди ди , ди ,

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450


Математика