Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Зоммерфельд А.N. Дифференциальные уравнения в частных производных физики
 
djvu / html
 

40 Гл. I. Ряды и интегралы Фурье
Нормирующее условие (1.59) имеет то преимущество, что в силу него все встречающиеся в Р/с коэфициенты становятся рациональными числа . .
Перейдем к последовательному определению полиномов Р0, PI, Р2, • • • , Рп с помощью условий (1-57) и (1.59). Полином Р0 согласно условию (1.59) равен постоянной, а именно 1. Для линейной функции Р1 = ах-}-Ь, согласно уравнению (1.57), при т=1, и = 0, получаем 6 = 0, а согласно (1.59), а=1. Полагая />2 = ах2 + Ъх + с, имеем
Г 2 /7
\ Р2Р0 dx = — a -f 2с = 0, следовательно, с = — — ;
О
P%PI dx= —b = Q, следовательно, b == 0;
о
отсюда
и в силу условия (1.59)
'--")
ЗУ
3 п 3
___ Lt __ __
2 > •* 2 — 2 2
__ О р __ _ 2 *
и------5~ ' " 2 — чГ ^ ~~ "о" '
Аналогично находим
РО q *J T"i "^ л 10 п , О
3 = уЖ3 — у Ж, Р4=— Ж4 — ^-Ж2+— И Т. Д.
Таким образом, полиномы Рп действительно полностью определяются нашими обоими требованиями, /*2n — как четные, Рт+1 — как нечетные полиномы с рациональными коэфициентами.
Более наглядным, чем этот рекуррентный способ задания, является следующее явное выражение полиномов Рп:
Оно удовлетворяет условию (1.59), в чем легко убедиться, произведя и-кратное дифференцирование множителя (х— I)1? и полагая х—1 во втором множителе (x-{-i)n. Так как

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450


Математика