Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Зоммерфельд А.N. Дифференциальные уравнения в частных производных физики
 
djvu / html
 

30 Гл. I. Ряды и интегралы Фурье
коэфициенты которого с возрастанием и стремятся к нулю быстрее, чем любая степень i/k. Примером такой функции является любой полином, составленный из sin x и cos x. Он разлагается в конечный ряд Фурье, имеющий столько членов, какова степень полинома, так что все коэфициенты Фурье с большим индексом равны в точности нулю. Другим примером может служить ряд & функции, с которым придется встретиться при решении задачи теплопроводности в § 15; его коэфициенты Фурье Ск убывают как е~а*2.
Далее, из доказательства теоремы следует, что встречающаяся в условии полноты сумма 2 -А* сходится для каждой дифференцируемой функции f(x), допускающей конечное число скачков. Примером такой функции является функция (1.14), у которой 2 -^А расходится, но ^А\. уже сходится. Это показывает, что условие полноты, как это уже было отмечено на стр. 17, не гарантирует совпадения значения функции / со значением суммы ряда Фурье в любой точке. Если, например, уточнить определение (,1.14), трвбуя, чтобы / = 1 для а; > О и /=—1 для х < 0, то / в точке я = 0 не представляется рядом Фурье (1.15), так как последний дает значение 0 при х = 0, в то время как /(0) =1.
Прекрасную иллюстрацию к нашей теореме представляют полученные в конце предыдущего параграфа ряды по косинусам и синусам. Дополним выражения представляемых ими функций, данные там только для интервала О < х < тс, выражениями их в интервале —тс < х < 0. Последние получаются просто, если заметить, что ряды по косинусам являются четными, а ряды по синусам — нечетными функциями х. В последнем случае для отрицательного интервала нужно изменить, кроме знака х, также знак всего выражения, а в первом случае только знак х. Полученные таким путем выражения в приводимых ниже примерах стоят в квадратных скобках после точки с запятой. Таким образом, равенства (1.22), (1.25), (1.28), (1.30) должны быть дополнены следующим образом:
-sin5a;+... (1.36)

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450


Математика