Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка
 
djvu / html
 

140 Гл. V. О полном интеграле Лагранжа
Из уравнения (!') и последних п — 1 уравнений (2) могут быт! найдены все постоянные а, а2, . . . , а„. Именно, при х± = jt[0) BTI уравнения принимают вид
Pa = «2» Pa = аз ..... Рп — оп . Действительно, желая вычислить, например, значение произ
о (0) (0)
водной пр х2 при х1 = х1 , мы можем подставить xj вместо *1 д< дифференцирования и дифференцировать после подстановки.
Полученные последние уравнения, очевидно, допускают решен» относительно аа, аа, . . . , а„, а.
Отсюда заключаем, что уравнение (!') и последние ге — 1 урав нений (2) при произвольном хг должны допускать решение относи тельно этих аргументов, так как они допускают его при некоторо! частном значении хг.
Для любого линейного уравнения мы умеем находить решения удовлетворяющие поставленному начальному условию; следова тельно можно считать уже установленным, что любому линейном1 уравнению первого порядка можно привести в соответствие полны! интеграл.
Если, желая избежать употребления многозначных функций, мы вместо того, чтобы задавать z уравнением (1), зададим его неявш уравнением :
W fo, х2, • - -, х„, z, d, - . ., aj = 0, (lj
мы можем, при наличии уравнения (1Д заменить уравнения (2 уравнениями
dW ,dW dW dW „
уравнения (2t) передают производные от z только после исклю чения из них z; но, приписав к ним уравнение (1Х) и имея в виду что исключению подлежат a1( a2J • • • , «,„ мы можем сохранять и: в виде (2j).
Отметим некоторые частные случаи. Если уравнение (3) може1 быть решено относительно рг и переписано в виде
pl — F(xv лга, ... х„, z, р2, ..., />„), (6
то наверное уравнение (1) и последние п — 1 уравнений (2) раз решимы относительно произвольных постоянных.
Иначе из этих уравнений можно было бы их исключить и по лучить, значит, уравнение, не зависящее от pt, тогда как, вслед ствие единственности результата исключения, полученное урав некие должно быть равносильно (6) и, значит, должно содержать р,
Также, если уравнение (3) содержит z, то из уравнений (2 можно найти все постоянные alf a?, ..., ап ; иначе их можно было бь исключить и получить уравнение, не зависящее от г.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360


Математика