Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

90 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 581
581. Теоремы Фредгольма. Теорема Фредгольма (§ 568) о фундаментальных функциях, соответствующих полюсу резольвенты, вытекает непосредственно из приведенных соображений. Точно так же можно легко доказать теорему об общем уравнении второго рода для случая, когда значение параметра служит полюсом резольвенты.
В § 569 было доказано, что уравнение допускает решения только в том случае, если функция f(x) ортогональна ко всем фундаментальным функциям союзного уравнения, соответствующим полюсу с, и доказательство остается в силе в случае неограниченного ядра. Эти условия оказываются и достаточными.
Пусть, в самом деле, k (x, у) есть главное ядро, относящееся к полюсу с', это главное ядро есть сумма некоторого числа канонических ядер &, (х,у), ...,kr(x,y)K ядра &, (х, .у>, ..., kr (x, у), К(х, y)—k (x, у) попарно ортогональны. Согласно общему свойству (§ 574) решение
имеет разрывное решение
при x^s-J? .
Положим, вообще, что мы изменили значение ядра К(х, у) вдоль конечного числа линий; это равносильно прибавлению к ядру К (х, у) ядра /С) (х, у), которое равно нулю всюду, кроме конечного числа линий. Если Kt(x, у) имеет линии разрыва только первого вида, то в решении интегрального уравнения ничего не меняется, ибо повторение ядра суммы /f-t-A", совпадают с повторными ядрами ядра К(х, у). Нетрудно также видеть, что значение и.пеграла
ь
не. меняется от замены К на К-\- К<. Дело будет обстоять несколько иначе, если-к ядру К(х, у) прибавить ядро К[ (х, у), которое равно нулю всюду, кроме конечного числа прямых, параллельных осям координат. Положим, например, что Ki (х, у) = О при х =? х„, Kt ( v,, y) = t (у).
Пусть f (л) будет решением уравнения:
ь
а
решение нового уравнения: ь Ф(х) = 1 \ {К (х, s) + К{ (х, s)] Ф (s) ds+f (х)
а
получится, если положить Ф (х) = <р (х) при х=?ха и Ф (*,) = <р (*„) -|- С, где постоянное С опреде!яетгя уравнением
ь
С = \\К{(х>, s) Рассуждения остаются в силе, если f (х) равна нулю: характеристические значения для обоих ядер совпадают, а фундаментальные функции отличаются только для JC — XQ.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика