Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

8С ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 577
В самом деле, пусть у (х, у) представляет некоторое решение этого уравнения. Предполагая, что п функций Yf(y) линейно независимы, дадим переменному уп частных значений ул,у%, ... ,У„ таких, чтобы детерминант, составленный из элементов Х,-(_уА), был отличен от нуля. Из полученной системы п уравнений можно определить функции Хг.....Хп.
Так, например, получим:
ь
X, (х) = Ф, (х) — с\К (х, s) Ф, (s) ds,
а
где Ф, (л:) есть выражение вида 2 а,- <р (xt, yt) с постоянными коэфициен-тами а,.. Точно так же мы с помощью функции <р (х, у) получим решение Ф; (х) уравнения:
ь
Ф, (*) -сК(х, s) Ф,. (s) ds = Xt (x).
а следовательно, и решение Ф (х, у) — 2 Ф,,(х) Yt( у) уравнения (68), которое действительно имеет требуемый вид. Всякое другое решение будет иметь вид Ф (х, у) -+• <р(х, у), где ш(х, у) есть решение однородного уравнения:
Ф (х, у) = с j АГ(лг, 5) ф (5, .у) ds. а
Но все решения этого уравнения, рассматриваемые как функции от х, представляют линейные комбинации конечного числа (оно может быть равно нулю) функций от х. Следовательно, всякое решение уравнения (68) имеет указанную форму.
Приняв это во внимание, вернемся к методу сравнения коэфициен-тов, примененному в § 575. Прежде всего мы видим, что функция Ва(х, у), которая при любом заданном постоянном значении у представляет фундаментальную функцию ядра К(х, у), имеет вид:
Вп (х, у) = <р, (х) ф, (у) -f ... + <р, (*) фг (У), (69)
ибо существует только конечное число фундаментальных функций, соответствующих числу с. Приравнивая коэфициенты при А1"0 в обеих частях тождества (58), мы приходим к соотношению:
Но так как Вп(х,у) имеет вид (69), то из предыдущей леммы следует, что и Вп_^ (х, у) имеет тот же вид. Вообще имеет место такое рекуррентное соотношение:
ь ь
?„_,- (*, )) = с \К(х, t) Bn_t (t, у) dt + \К(х. t) Bn_ui (t, у) di,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика