Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

70 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕЖОЛЬМА § 574
точно так же можно доказать, что ь
если повторные ядра записать по-другому. Из соотношений (54) непосредственно вытекает, что ядро S^(x, у), полученное из К-^-\-Кл первым повторением, равно А"<2> (х, у) -f- К$} (х, у). Находя одно за другим все следующие ядра, мы покажем, что л-е повторное ядро 5(я) (х, у) равно К[* (х,у)-\-К'^(х,у). Складывая почленно разложения резольвент Тг(х,у;1), Т2(х,у;1) (§ 559), мы находим формулу, которую нужно было доказат.:
Т(х, у; I) = 1\ (х, у; X) + Г2 (х, у; X). (55)
Ясно, что ядро, ортогональное к нескольким другим ядрам, ортогонально также и к их сумме. Это позволяет распространить теорему на несколько ядер. Если п ядер Кг, К?, ... , К„ попарно ортогональны, то резольвента, соответствующая их сумме S (х, у) = К^ -(-... -f- Kn, равна сумме резольвент, соответствующих каждому из этих ядер.
Из доказательства вытекает, что из каждой пары ортогональных ядер КГ К2 можно получить бесчисленное множество других. В самом желе, сумма любого числа ядер, полученных из ядра /С, (х, у) повторениями, ортогональна ко всякому другому ядру, полученному таким же путем из ядра К2(х,у). Сами разрешающие ядра Т:(х, у,\), Г., (л:, у. р) также ортогональны, каковы бы ни были значения X и ji.
Пусть cpj (х) и <р2 (х) будут два решения двух интегральных уравнений:
ь tp, (ж) = X J Кг (х, s) <
и
?, (х) = I j К2 (х, s) «р, (s) ds -j- f(x),
где ядра К: и К% ортогональны. Если X не есть особое значение для одного из ядер, то согласно предыдущей теореме о резольвентах, * Ф (х) = X ({ Af, (*, 5) -f Kt (х, s) } Ф (s) ds
Это свойство легко показать и непосредственно, так как предложение, которое нужно доказать, приводит к следующему: ь ь
] К, (х, s) [<рг (s) - f(s)] ds + J ЛГ, (*, 5) [<р, (s) ~f(s)] ds = 0.
a a
Если теперь принять во внимание самые интегральные уравнения и ортогональность ядер, то ясно, что оба эти интеграла равны нулю. Заме-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика