Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

290 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 654
В точках D и Е должны выполняться новые условия. Вообразим, что мы заменяем дугу AD близкою дугою AD', которая имеет конец в точке D' дуги DE.
Первая вариация интеграла Jt=\Fdx имеет вид (§625):
AD
«У, = [/=• (jf2, j/2; y'2) — y'2F'y, (х3, j/2; у2)] &хд, + F'y, (х.3, >'2; у'2) 3>2,
где х3, j/2 — координаты точки D, у'2 — угловой коэфициент касательной в точке D к экстремали J%. Первая вариация интеграла У2, взятого вдоль DE, очевидно, равна — F (xv у%, р^&х^, где />2 есть угловой коэфициент касательной к DE в точке D. Замечая, что у% — р%Ъх%, мы преобразуем условие 5(У(-(-У2) = 0 в следующее: Р(хг, у2; у'2, р%) = 0. Оно, очевидно, выполняется, если у'2 = р%, т. е. если дуги AD, DE касаются друг друга в точке Е. Совершенно аналогичное условие мы получаем для точки Е, и к неравенству (112) следует присоединить еще два соотношения:
У г . Л) = °. Е (х* У»'< Уз. > Рз> = °- ( l ! 3)
В случае интеграла в параметрической форме:
мы предположим, что координаты точек граничной дуги DE суть функции x(s), у (s) длины дуги, отсчитываемой в положительном направлении. Пусть в будет угол, который положительное направление касательной образует с осью Ох. Формулы
х = х (s) — т) (s) sin в, у = у (s) + т] (s) cos в,
в которых т] (s) есть функция класса (I), равная нулю в точках D и Е и положительная или равная нулю в промежутке, представляют кривую вида DGE, расположенную в области 91, если только | T) | не превосходит некоторого предела. Если в функции F переменные х и у заменить через
х (s) — ar) (s) sin 8 и у (s) + ar) (s) cos S,
то интеграл сделается функцией от а, производная которой при а = 0 должна быть больше или равна нулю, каков бы ни был вид функции т\ (s). Повторяя вычисления этой производной, мы находим, что для этого необходимо и достаточно, чтобы вдоль всей дуги DE выполнялось неравенство:
Г- Л (*У - *"/) +Р"ху - /> *S 0. (114)
Как и выше, можно показать, что в точках D и Е должны иметь место соотношения:
, y3; p3, д3; x'3,y? = Q, (115)
где PJ, * Условия (115) всегда выполнены, если экстремаль и граничный контур в общей точке касаются друг друга, причем положительное направление касательной для обеих кривых совпадает. Если FI (х, у; cos в, sin 9) не может обратиться в нуль на границе, то условия (115) могут быть выполнены только в этом случае. Аналогичное замечание можно сделать относительно условий (113).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310


Математика