Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

280 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 650
В этих условиях * мы установим, что можно указать такое доста-точн" малое положите^ьчое число р, что ьсякая кривая класса С1, на-*од|щая:я в области 23 и соединявшая две точки А и Б, дает интегралу J значение больике, чем дуга экстремали ©0. Рассмотрим д.гя этого какой-нибудь пучок экстремалей, в который входит @0, и пусть 23 — соответствующее поле. Через каждую точку (х, у) этого пиля проходит экстремаль этого пучка, и направляющие косинусы положите л. но го направления касательной в этой точке (cos ц, sin и) суть непрерывные функции переменных (х, у), которые переходят в cos 0 и sin О, когда точка (х, у) приходит на дугу ©0. Мы сперва покажем, что можно взять число р настолько малым, чтобы в поле ?5 функция Е(х, у, cos и, sin ц; cos 0', sin 6) била положительна для всех значений 0', не имеющих формы и -f 2&тг. Рассмотрим для этиго вспомогательную функцию Elt определенную следующим образом:
. ,,, . й,, Е(<, у; созы, sin //; cos", sin 0')
Ej (х, у; cos и, sin и; cos 0', sin 6')= - - — - — - — г — - - ' ,
1 — cos \u — I/ )
(9' —
E(x, у; cos и, sin и; cos!/', sin &') — /^ (x, y; cos и, sin и),
В силу соотношения (98) эта функция непрерывна также при в'=ы, и согласно предположениям она положительна в каждой точке дуги АВ для каждого значения 0'. Так как она непрерывна в окрестности дуги АВ и имеет относительно О' период 2тт, то из свойств непрерывных функций вытекает, что можно поместить ©0 в область 35 достаточно узкую, так что ф нкция Е бутет оставаться положительной, когда TJ4K3 (х,у) описывает область 23. , каков бы ни был угол О'. Следовательно, мы имеем также:
Е(х, у; cos и, sin и; cos 0', sinO')^>0 в этой области 23., кроме случая, когда cos(0f — а)=1, т. е. 0' =
Приняв это во внимание, положим, что
суть двт диференциальных уравнения, определяющих специальный пучок э хтремалей, который составляет рассматриваемое поле. Можно, например, взять /?=cosu, q = sinu, и перемени je t тогда представляет дугу экстремали, отсчитываемую в положительном направлении. Для того чтобы
* Условия (!) и (3) заведомо выполняются, если функция
/Ч(г, >•! л'У)
положительна в области 3?* при любых зн чениях л', у', т. е. если задача прашыья (^ 647). В этом случае для того чтобы экстремаль давала минимум, достаточно, таким образом,; Hiy^w

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310


Математика