Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

270 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 645—646
Если функция / однородна относительно х' и у' в абсолютном смысле слова, то J ВА = -- !дв . Напротив того, если
F(x,y,-x',—y')--=F(x,y, r', У),
то JBA — JAB' и значение интеграла не зависит от направления обхода. Наиболее простой пример этого рола даст интеграл \ |/д- -т у''2 dt.
Примечание 3. В частном случае, когда кривая Г есть кривая класса (I), и если, кроме тою, гс < дг(, то можно в качестье параметрического изображения влять x = t,y — (I), и интеграл принимает вид интеграла, который мы до сих пор рассматривали
•*!
\ F (х, у, у'х) dx.
*о Обратно, всякий интеграл
*'
\ G(x,y.y')dx,
X,
взятый вдоть кривой Г класса ('), может быть предстяшен бесчисленным множе-стюм способом в парами ической фо -ме Если, например, д:0<л(, то оааточно положить x=t('), где <р (') —такая функция класса (I), что i растет от хй до xt П| и возрастании t 01 /0 до ",, а затем положить if (/) =/[? (.)], и интеграл принимает параметрическую форму:
функция
/=• [ f. >'U' W, У (01 = О (*. Л Л-) ^
действительно удпвтетзоряет условию однородности Но для того чтобы это пре-образовише предстамляло некоторый интерес, необходимо, чтобы пяраметриче кая форма интефала была применима ко всем кривым класса С1, по крайней мере
Г* в некоторой области. Например, интеграл \ y'*dx может быть записан в пара-
то
Г J''2 ( ) метрической форме: \ --гЛ- dt, но этот интеграл не будет иметь конечного значе-
ч X (-)
ния для кривой класса С1, которая имеет касательную, параллельную Оу.
643. Новая задача. Пусть будет F(x, y;x',y') функция, удовлетворяющая условиям непрерывности и условию однородности, которые были изложены; каждой кривой класса С1, расположенной в области 9t и описанной в определенном направлении, соответствует определенное значение интеграпа J. Можно относительно SIHX интегралов поставить те же задачи экстремума, какие были поставлены в § 621, 631 и следующих, но только необходимо точно определить, что следует понимать под окрестностью кривой этот > рода. Эта ок. естн сть уже не может быть ограничена отрезками д^ух прямых, параллельных оси Оу и проходящих через точки А и Н, она должна содержать эти две точки внутри. Мы будем в дальнейшем н.-.зывать окрестностью дуги АВ класса С1 часть плоскости, покрываемую переменным кругом радиуса р, центр которого

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310


Математика