Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

260 ГЛАВА xxxiv. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 641
Это различие легко усматривается на самих кр. вых. В самом деле, рассмотрим две кривые © и Г, изображенные двумя уравнениями:
y=J(x), (G)
y=f(x) + »(*,«), (Г)
и поставим в соответствие друг другу точки этих двух кривых, имеющие одну и ту же абсциссу. Рисстояние между д умя соответствующими точками двух кривых меньше г, коль скоро |а|<^г, независимо оттого, будет ли вариация слабая или сильная. Но если вариация и>(х,а) слаба», то не только две соответствующие TO'IKH на двух кривых бесконечно б 'изки, но и угол между касательными к этим кривым в этих точках беек нечно мат. Это не имеет места, е:ли ва .-нация со (х, а) сильная; в этом случае угол между касательными к двум криным в соответствующих точках, вообще говоря, не стремится к нулю, как в этом можно убедиться на предыдущем примере.
Аналогичное различие можно сделать дня минимума. Мы будем говорить, что экстр; мальная кривая ©0 дает слабый минимум интегралу У, если существует положительное число е такое, что интеграл
xi \F[x,f(x),f'(x)]dx
«j Х0
меньше, чем интеграл
]'/=[*,/(*) + ш (л), f (*) + *' (x)}dx
Хо
для всех созможных видов функций ш (х) класса (I), удовлетворяющих условиям:
ю(д:0) = 0, »(*,) = <), |со(дгЛ<е, |ш'(*)|<в
для х0^х ^хг
В противоположность этому, говорят, что экстремальная кривая y-=f(x) дает счльчый минимум, если она удовлетворяет условиям, приведенным в начале этой главы (§ 620). Отсюда легко объяснить, почему условия Лежандра и Яко*ш недостаточны для сильного минимума, ибо эти уел шия получаются при рассмотрении только слабых вариаций. Наоборот, условие Вейерштрасса (§ 636) было получено при рассмотрении сильной вариации.
ТЕОРЕМА. Д} га экстремали ©„, для к^гтрой выполняются условия Лежандра и Якоби, дает по крайней мере слабый минимум интегралу J.
В самом деле, по предположению, функция
имеет положительное значение, когда х возрастает от хп до хг Так как функция F"(x.y,y') непрерывна, то можно указать такое положительное число i$, что
; [х, f(x) + h, f (х) -f k] > 0 для х0 ^ х < хг

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310


Математика