Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

250 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 637
Два последние уравнения новой системы (57') представляют два линейных уравнения второго порядка, которые получались бы также, если бы мы искали экстремали, бесконечно близкие к рассматриваемой экстремали. Положим, в самом леле, что функции y=f(x,t), z = f (x, t ) представляют систему интегралов уравнений (9) § 623, зависящую от произвольного параметра t и обращающуюся при f = 0 соответственно в функции / (х) и <р (х)\ функции f't (x, 0), у\(х, 0) удовлетворяют двум линейным уравнениям, которые получаются из уравнений (9) общим методом, указанным в § 462. Выполнив все преобразования, мы непосредственно убедимся, что эти два уравнения в вариациях совпадают с двумя последними уравнениями (57').
Коэфициенты Ai <7i> j°2> <72 определяются таким образом из соотношений:
где (и{, PJ), («21 v%) представляет две системы частных интегралов уравнений в вариациях:
?0\ о_ о.
dx \du'J Ъу dx
Выбрав таким образом р{, д{, р*, <7?, мы должны еще для определения коэфи-циентов X, ц, v формы g записать, что две системы решений (м,г,) и (м.21'2) удовлетворяют четырем соотношениям:
*°. + ^'=0, <0i + ^i = 0/

(61)
в которых GJ и ^ означают результат замены в формах G и g букв и и v на и, и fj. Кроме того, мы имеем четыре линейных уравнения для определения X, ji, v, и, следовательно, должно выполняться условие совместности. Это условие,
ЙД Э?!
которое легко получить, развернув —- , --,1, ... , примет вид:
d«j dfj
3G{ 3Gt 3G2 (iG, „
"9 r-> + f з —r — «i —,* — »» r-7 = 0.
Мы можем, таким образом, получить все тождества видл (56), кляв две системы, частных интегралов (и{, v,), («2, f2) уравнений о вариациях (оО), удовлетворяющих условию (62) и таких, чтобы
D (x) = ULV, — u2t>,
не было тождественно равно нулю, и определив />,, qit />2, Заниматься подсчетом X, ц, v бесполезно, ибо в окончательном результате они исчезают.
Две системы интегралов («,, t/j), (u2, »2), удовлетворяющие условию (62\ называются союзными. Существует бесконечное множество союзных систем. В самом деле, из уравнений i60) мы получаем:
dG, , , 3G, d I dG( \ 3G, r dG, и
„ ----> _L „ ---.« ~ — / И.2 —, , f J - + V2 —, ~ -
, ,
аи. Au dx

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310


Математика