Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

240 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 633-634
Первое из этих соотношений показывает, что значение х — х0 есть корень уравнения
cp;(.v, 0) = 0. (48)
Но корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения экстремали у=/(х), соответствующей значению Х = 0 параметра с бесконечно ближою экстремалью, выходящею из точки А, т. е. являются абсциссами точек касания этой экстремали Г с кривою, огибающею это семейство экстр, милей. Часть этой огибающей вырождается в самую точку А. Другие точки ктсзнля называются сопряженными фокусами точки А. Так как у[(х, 0) есть как раз интеграл ul(x] уравнения Якоби, который обращается в нуль при х = ха, то ближайший больший корень х'0 представляет абсциссу первого фокуса А', сопряженного с А и находящегося справа от этой точки, и условие Якоби выражает, что конец В дун экстремали АВ должен находиться между точкой А и П-рвыч сопряженным фжусом справа.
Между сопряженными ф жусами существует взаимность, ибо абсциссы этих точек суть корни одного и того же интеграла уравнения в вариациях.
634. Примеры. Рассмотрим снова примеры § 622, гле функция /•' имела вид уУ\ -)-У1. Условие Лежачдра для минимум! всегда выполнено. Еслму—/(х) представляет урЗонение дуг,! экстремали, проходящей через две точки А
и Л с абсциссами х$ и xlt то уравнение _у = Х/ ( — I представляет также экстремальную функцию при лю'юм зн чении постоянного X. Мы потучим, таким образом, реше те уравнения в втри щиях (^ 4'i'J), если возьмем прои.шогиую по X от этого и iTe-рала * и положим затем Х=1; таким об] а^ом на; дем: u=f(x) — — д'/'(л). Для того чтобы этот интеграл не обращался в нуль мея.ду предел ши х^ и х{, необхО1ими и д >статочно, чтобы пи одна касательная к дуче экстремали АВ не п[ сходила через начало. Так как за начало можно принять люоую
* Ксли, вообще, уравнение Э"'лера допускает бесконечно малое преобразование (г. II, §о9)-о9.), TJ из всякою и те; рала/(л) можно получить бесконе шо близкий интеграл, а следов тель о, соответствующее решение уравнения в вариациях. Сле .ующле примеры связаны с классическими случаями понижения по,"я.-ка пифелепц .алыюго урявп.ния.
1 F не соде1 жиг у. Если /(я) — эк'тремчль, то/(>) -f- X есть также инте-грал ураинения Эйлера, каково Ьл ни был i значение X, и, с ел жателгн , и=1 предсовляет решелие уравнения в вариациях. Условие Якобл в.егда удояле-творяетсч.
1. F не содержит х. Если /(к) есть экстремаль, то /(* + ).) также есть экстремаль и, следовательно, /'(«:) ее ь решение уравп-ния в вариациях. Услоьи.1 Якоби вы 1олнено, если ни в одной точке дуги АВ касательная не трал-лчльна пси Ос.
3. Если Г — функция олчоголиая относительно^ и у', то левая часть уравнения Эйлега однородна огн к'ителыю у, у', у" и, слелователы о, всякий пнте-rpai/(r) представляет решение соответствующего уравнения в нари .циях. Условие Якоби ) д шлетноряется, если дуга эк.тр.-мали не пере:ек*ет о:и Ох.
4 Если F од юродна отнеси ;ельио х и у, то и) рассуж. ений, приведенных в тексте, следует, что условие Якоби удовлетворя-'тся на дуге экстремали A3, если ни одни касательная к этой д.ге не приходит через начало.
В каждом из этих случаев указанное условие является только достаточны.;:, но не необходимым,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310


Математика