Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

230 ГЛАВА XXXIV ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 629
когда точка (х, у) описывает кривую С. Если, кроме того, эта функция, как и ее частные производные первою порядка, непрерывна во всех точках (х, у) области А плоскости ху, ограниченной кривою С, а также и на самой кривой, мы будем юворить, что функция f (х, у) и поверхность S принадлежат к классу (1) в" области А. Заменим" в функции /-'переменные z, p, q соответственно через /(*". J'l. /v и /'• В результате такой подстановки получится функция, непрерывная в области А, и двойной интеграл
J --\\ Г(х, у, z, p, (i)di-tiy (31)

имеет конечное значение для всякой поверхности S класса (I). Можно для этого двойною инглряла поставить задачу, совершенно аналогичную той, которую мы ставили для кривых, а именно: найти, если она существует, среди повепхностей .V класса (I), прохо пнцих через кривую Г и расположенных в области Я, такую поверхность, для которой интеграл (31) имеет значение меньшее, чем для любой другой поверхности, удовлетворяющей тем же условиям.
Обозначим вообще через т; (х, у) функцию класса (1) в области А, обращающуюся в пуль вдоль кривой С. Если z — f (х, у) есть уравнение поверхности класса (I), проходящей через Г, то уравнение
представляет пучок поверхностей, проходящих через Г, и функция параметра з
J (а) - \'\ /•' [ г, у, f (х, .1 ) : т.-. ( , , у), f\ -: *r'x. /;, -г ccrj.] dx dy 'A
должна иметь минимум при ч - 0, каков ("ы ни был вид функции г, (г,- у). А для этого необходимо, чтобы первая вариация о/ была равна нулю. Обычная формула диферешшрования под знаком интеграла, которая без ^руда распространяется на двойные интегр?лы, дает:
(V-' ?/•' i (>/-' , 1
г, (.v,j.) гг т, ,-!--- т rf.dy, (3-0
Л z dp -v
Л
где поели диферлщироваиия z, p и q должны быть заменены на f (х, у), j x, f соответственно. Положим, что функция f (к, у) допускает частные производные второю порядка, непрерывные внутри С. Тогда формула Грина дает (1, § 126):
Г Л/г у Г Г I ' dt ^ d t'^r\~\ -,
' ( Vl J ' Г dy ~Л\\ г'* Г ^ т' (х' у) 7 ( Г ) dx dy~
Лр J J [ dp dx \Лр/ J
С А
а так как функция т, (v, у) равна нулю вдоль всей кривой С, то двойной ише-
» <) F
грал от т, — - можно заменить двойным инте! ралом от произведения Ар
. d /1>F
•'. (А". У) — ( —
dx \др
с обратным знаком. Поступив точно так же с последним двойным интегралом
формулы (32), мы получаем:
*J -__э
ПГо/" d i df~ \ rf / d /*' \ "1
r,(*.:V) т- - — (%-}- ~(~}\ [.az dx\dp J dy \dq J \
Для того чтобы варлация 5/ была равна нулю при всех возможных видах функции т,(\-,у), необходимо и достаточно, чтобы коэфициент при т,(х,у) под знаком интеграла был равен нулю. В самом деле, положим, например, что этот коз-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика