Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

210 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 621
ибо если взять ^(х^ — О, то будет также и r,(xt}=Q, а в таком случае коэфи-циент при т/ (х) под знаком интеграла должен быть равен постоянной величине, и функция /(<) удовлетворяет уравнению вида:
М*,/(0./'(-0] = Ф(г) + С,
где функция Ft (х, у, у') имеет непрерывные частные производные первого порядка. Это уравнение, разрешенное от. осительно /' (х), дает решение в виде: /'(r) = i [x, /(v)l. где функци! <1> также имеет непрерывные производные первого порядка'(т. I, §t,6). Отсю'а следует, что/' (\) также имеет непрерывную производную )"(<•), и, следовательно, /(Ч) представляет интеграл уравнения Эйлера.
Различные примечания. 1. Так как общий интеграл уравнения Эйлера содержит только две произвольные постоянные, то экстремаль, вообще говоря, определена, если зада 1Ы две ее точки. Но нельзя задать произвольно две точки экстремали и касательную в одной из этих точек, а отсюда следует, что соответствующая задача вариационного исчисления, вообще говоря, не имеет решения. Нельзя, например, поставить такую задачу, среди всех кривых класс i (I), соединяющих две точки А и И и имеющих в точке А касательную, отличную от прямой АВ, найти такую, длина которой была бы наименьшей. В самом деле, в этом случае экстремали суть прямые, и среди них нет ни одной, удовлетворяющей поставленным требованиям. Ясно, что в этом случае задача не и\;еет решения. С одной стороны, все кривье, удовлетворяющие этим условиям, имеют длину, превосходящую расстояние АВ, а с другой сюроны, среди них можно найти такую, длина которой отличается от длины АВ как угодно мало.
2. В случае, если функция F(x, у, у') зависит только от У, уравнение (б) приводится к виду у = 0, и все экстремали суть прямые.
Если функция F(x,y,y') не зависит от у, то мы непосредственно получаем первый интеграл уравнения Эйлера. В самом деле, если исходить из первоначальной формы (5), в которой это уравнение было получено, то мы видим, что в этом случае оно равносильно уравнению
\сг
первого порядка —; = С, откуда мы получаем у' = у(х, С), и интегри-ду
ровамие приводится к одной квадратуре.
Равносильн ie упрощение мы получаем в том случае, когда функция F не содержит х. В самом деле, в этом случае мы можем рассматривать уравнение первого порядка между у и у''= р (т. II, ч. 2, § 380):
, У-F dp _ d ( 5F\ )F dp ~~
Ъу й_у д/7 и/?2 dy dy \ 5/7 / dp dy '
или
Мы получаем, следовательно, первый интеграл, содержащий только у и у':
лр
1)-Уг~ = С, (7)
а теперь достаточно одной квадратуры, чтобы интегрирование уравнения Эйлера было закончено.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика