Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

20 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §553-554
ние (34) имело решение в интервале (0, а), необходимо, чтобы функция /(л:) обращалась в нуль при х = 0 и допускала непрерывную производную в том же интервале. Тогда искомым решением будет:
Рассмотрим теперь более общее уравнение:
(35)
Для того чтобы это уравнение имело своим решением непрерывную функцию ш (х), необходимо, чтобы функция f(x) имела непрерывные производные f(x),f(x), ... ,f(n)(x) и чтобы сама функция и ее п—1 первых производных обращались в нуль при x = Q. Если эти условия выполняются, то уравнение (35) имеет своим решением непрерывную функцию tp (х) =/•") (х).
554. Уравнение первого рода. Рассмотрим общее уравнение первого рода вида (33) В этом параграфе мы будем предполагать, что ядро К(х,у) и все его частные производные, с которыми нам придется иметь дело, суть непрерывные функции. Прежде всего очевидно, что для того чтобы уравнение (33) допускало своим решением непрерывную функцию у(х), необходимо должно выполняться условие /(0)=0. Кроме того, если ядро К(х, у) допускает непрерывную производную К'х(х,у), то и левая часть уравнения (33) также допускает непрерывную производную; отсюда следует, что то же условие должно выполняться и для функции f(x). Если это условие выполнено, то, приравнивая производные обеих частей, мы придем к новому уравнению:
х
К(х, х) ш (x) + {K'x(xt s) f (s) ds=f (x). (36)
и
И наоборот, каждое решение этого уравнения (36) удовлетворяет также уравнению (33), ибо при х = 0 обе части последнего обращаются в нуль и, кроме того, имеют одинаковые производные. Уравнение (36) есть уравнение Вольтерра второго рода, и к нему можно применить общий метод § 548, если только К(0, 0) отлично от нуля. Если К(х, х) не обращается в нуль в интервале (О, Л), заключенном в интервале (0, а), то, как мы видели, уравнение (36) допускает в этом интервале (О, Л) непрерывное решение и притом единственное. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:
Если К (0, 0)=т^0, /(0) = 0 и если функции f(х), К(х, у) допускают производные f (х), К'х(х, у), непрерывные в интервале (0,/г), заключенном в интервале (О, а), внутри которого К (х, х) не обращается в нуль, то уравнение (33) допускает в этом интервале (О, п) непрерывное решение и притом единственное *.
* Эта теорема была впервые установлена Le Roux, These de doctoral (Anna-tes de I'Ecole Normale, 1894, стр. 19-22).

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика