Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

190 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 617
617. Задача об охлаждении. Задача об охланпении твердого тела с лучеиспусканием приводится к следующей задаче аналлза. Определить, интеграл уравнения в частных производных параболического типа:
*!>+»!!-+™R(Xty.,№ (75)
йд2 Йу2 йг2 dt
праьильный для всякого положительного значения t в области Д ограниченной замкнутою поверхностью 2- обращающийся при t — 0 в данную непрерывную в области D функцию а(х,у, г) и удовлетворяющий, кроме того, в каждой точке поверхности S граничному условию
где R н h суть согласно их физическому значению существенно положительные функции. Если искать решения вида U = e-MV,'K> мы видим, что функция V должна быть интегралом уравнения
\V + \R(v,y,z) V=0, (76)
правильным в области D и удовлетворяющим на границе поверхности Б граничному условию:
Выше (§ 615) мы видели, что существует бесчисленное множество значений X которые все положительны и для которых зчдача имеет решение. Мы получим таким образом, бесчисленное множество простых решений вида:
е-^ъ(х,у,г),
удорлетворяющих грчничному условию. Если функция а (г, v, z} может быть раз-ложеш в абссл.отно и раннбмерно сх >дящи"ся ряд по \ ундзментатьным функциям нидч 2aiTi ( *• У> *)• то Ряд 5X I. Сфера. В случае однородной сферы, радиус которой мы положим равным единице, мм можем в уравнениях (75) и (76), в которых h — положительная постоянная, предположить R (х, у, г) = I. Будем искать интеграл уравнения А1'-)-Х'/=:0 в виде V= Yn( Р2/" (?) + 2р/ '(?) = [я (л + 1) - ХрЧ / (Р): (77)
далее, этот интеграл должен оставаться конечным при р — 0 и удовлетворять
d\r граничному условию /'(1) -)- Л/(1) =0, ибо производная — берется по внутрен-
ней нормали. Это уравнение (77) приводится к уравнению Бесселя (т. II, § 414)
если положить /(р) = fz, t = -- -pa. Таким образом интеграл уравнения (77)
кстопый остается конечлым при р=0, с точностью до постоянного множителя, раьен

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика