Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

160 ГЛАВА XXXItl, ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §605-606
доказываются еще проще (§ 593). Если, например, А (х) отрицательно, то все особые значения положительны. Применение метода Шварпа дает возможность определить один за другим полюсы резольвенты и фундаментальные функции *.
Уравнение D(X) = 0, которое дает особые значения, может быть получено непосредственно из диференциального уравнения. Пусть, в самом деле, .У! (*> X) будет интегралом уравнения (19), который удовлетворяет начальным условиям у^ (а, Х) = 0, у^ (а, X) = 1. Этот интеграл есть целая функция параметра X, которую можно разложить в ряд по степеням -X, вычисляя коэфициенты методом последовательных приближений (т. II, § 390). Если записать, что этот интеграл обращается в нуль и при х = Ь, мы получим уравнение у^(Ь, Х)=0, целое относительно X, корни которого и будут искомыми особыми значениями. Можно заметить, что то же уравнение получится, если мы приравняем нулю детерминант у2 (s, I) y'j (s, I) —ул (s, 1) y't (s, X) уравнений (20); так как уравнение (19) не содержит члена, содержащего у', то этот детерминант не зависит от 5 (г. II, §400) и совпадает с —у^ (Ь, X).
606. Охлаждение неоднородного бруса. Метод, изложенный для простого случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, без труда может быть распространен на уравнения второго порядка более общего вида с несколько менее простыми предельными условиями. Пусть задано линейное уравнение второго порядка:
/+ />(*)У + {?(*)+И*)} .у =/(*),
где коэфициент при у представляет линейную функцию параметра X, и пусть требуется разложить в ряд по степеням X его интеграл, удовлетворяющий начальным условиям вида (10). Первый член разложения мы получим, если разрешим ту же задачу для уравнения
У +Я (*).У-т-?(*).У =/(*): (21)
применяя метод вариации произвольных постоянных, мы можем пред-
ь
ставить этот интеграл в виде \ К(х, s)f(s)ds, где К(х, s) есть функция,
а
зависящая одновременно и от граничных условий и от коэфициентов/>(дг) и q (х). Если эта функция К(х, s) определена, то решение поставленной задачи общего вида с помощью вида (20) приводится к решению интегрального уравнения:
»
)f(S)dS> (22)
ядро которого р-авно —К (х, s)r(s). Применим этот метод к задаче об охлаждении неоднородного бруса.
* Е. Pica rd, Traite d'Analyse, т. III, гл. VI. В случае, когда А (к) имеет произвольный знак, см. также диссертацию Sanielevici (Annales tie I'Ecole Normale, 19Щ.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика